わからんかたへのぶぶんてんもらえるもんだい
�Bろくたすにしょうかっこいちたすにしょうかっことじは？
(これはしゅつだいしゃのとうこうです。ささやきこうかいできるようになまえのしょうすうてんをはんかくにしました)

さあ、正解するツワモノは現れるか！？

２面戸くさっ

「えっくすにじょう」のにゅうりょくほうほうがわかんない。
にばんわかんない。
すうがくもこくごもわかんない。
かんじもわかんない。

どうすかね！？

ヘルプ問題だけ

x³y-xy³-x²+y²+2xy-1
=x³y-xy³-x²+y²+2xy-1+x²y²-x²y²
=x²xy-xyy²-x²+y²+2xy-1+x²y²-x²y²
=x²(xy-1)-y²(xy-1)-x²y²+2xy-1+x²y²
=(x²-y²)(xy-1)-(xy-1)²+x²y²
=-(xy-1)²-(y²-x²)(xy-1)+y²x²
=-A²-(Y-X)A+YX
=-(A²+(Y-X)A+Y(-X))
=-(A+Y)(A-X)
=-(xy-1+y²)(xy-1-x²)
=(y²+xy-1)(x²-xy+1)

↑　うっっひゃ〜

ちなみに，ヘルプ問題の式変形は結果を得てからの後づけです(汗．結構トリッキーな変形をしているので，思いつくのは難しいかもしれません．そこで，そのような変形よりはまだ思いつきやすい，私が用いた解き方でも載せときますね．


まず，因数分解するために，方程式

x³y-xy³-x²+y²+2xy-1=0　…�@

の解を探したい．そこで，x³y-xy³-x²+y²+2xy-1におけるx,yの高い対称性に着目する．前4項は交代式，後2項は対称式である．�@で，左辺に交代式部分を，右辺に対称式部分を集めて

x³y-xy³-x²+y²=-2xy+1　…�A

交代式g(x,y)はg(x,y)=-g(y,x)を満たすので，g(x,x)=-g(x,x)，すなわちg(x,x)=0を満たす．これはy=xがg(x,y)=0の解であることを意味し，x-yを因数に持つことを意味する．割り算すれば

x³y-xy³-x²+y²=(x-y)(xy²+x²y-x-y)=(x-y)(x+y)(xy-1)

と予想外に綺麗に因数分解される．よって�Aは

(x-y)(x+y)(xy-1)=-2xy+1　…�B

となる．この方程式の解を求めるために変数変換をしたい．そこで，両辺を2乗する．両辺を2乗しても�Bの解は失われないことと，両辺が対称式になることが重要である．

(x-y)²(x+y)²(xy-1)²=(-2xy+1)²　…�C

対称式はp=x+y,q=xyを用いて表せる．実際にやってみると

(p²-4q)p²(q-1)²=(-2q+1)²　…�D

r=p²と置いて�Dを整理すると

(q-1)²r²-4q(q-1)²r-(2q-1)²=0　…�E

これを解くと

r=p²=(2q-1)²/(q-1),1/(1-q)

を得る．このどちらかが�Bの解である．どちらが�Bの解であるかを検討する．p=0となる解を探す．p=x+yよりx=-yが解になるかを考える．x=-yを代入して

-y⁴+y⁴-y²+y²=2y²+1
⇔0=2y²+1

これを満たすような実数yは存在しないので，実数の範囲でp=0となりうるp²=(2q-1)²/(q-1)は不適．

したがって，�Bの解はp²=1/(1-q)と考えられる．これをx,yの関係に戻して

(x+y)²=1/(1-xy)

逆に

xy=1-1/(x+y)²

これを�@に代入すると

x²(1-1/(x+y)²)-y²(1-1/(x+y)²)-x²+y²-2(1-1/(x+y)²)+1
=(-x²+y²+2(x+y)²-2-(x+y)²)/(x+y)²
=(-x²+y²+(x+y)²-2)/(x+y)²
=2(y²+xy-1)/(x+y)²
=0

であるから，y²+xy-1=0と考えて良い．従って，これを因数に持つ．

xを定数と見ると�@はyの3次多項式であり，y²+xy-1はyの2次多項式である．割り算を行うと商がx²-xy+1，余りが0となり，(x²-xy+1)(y²+xy-1)と因数分解された．■

一番乗りできなかったのが残念

鍵しめまっせ

がっちゃん。