ヒミツ

ヒミツ

「ある国の人の札の数字が、同じ国の他の2人の札の数字の和でなく、また、同じ国の他の人の札の数字のちょうど2倍でもない」
⇔「ある国の二人の番号をa,bとして（ただしa=bでもよい）a+bがこの国の誰の番号とも一致しない」
あるいは
「ある国の二人の番号をc,d（c＞d）として、c-dがこの国の誰の番号とも一致しない」

問題は「すべての国が上記の条件を満たす」ということがないことを証明することだから、背理法で証明する。
すなわち
「いずれの国のメンバーも、上記の条件を満たしている」
と仮定する。

1978=6*329+4
したがって少なくともどこか一カ国からは330人以上来てるので、そこをA国とする。
A国のメンバーに与えられた番号を小さい方から330人分並べて、
a[1]＜a[2]＜…＜a[330]
とできる。
ここでa[1]とa[2]〜a[330]までの329通りの差、つまり
a[2]-a[1]、a[3]-a[1]、…、a[330]-a[1]
をとる。
仮定からこれらはすべてA国の番号には一致しない。
また
1≦a[2]-a[1]＜a[3]-a[1]＜…＜a[330]-a[1]≦1977
であるので、これらの番号に一致するメンバーが、他の五カ国に必ず存在する。
329=5*65+4
したがって、残った五カ国のうち少なくとも一カ国は、上の329通りの差のうちの、66通りに一致している。
これをB国とする。
上記の差に一致するメンバーに与えられた番号を小さい方から66人並べて、
b[1]＜b[2]＜b[3]＜…＜b[66]
とする。
同様に65通りの差
b[2]-b[1]、b[3]-b[1]、…、b[66]-b[1]
をとる。
問題の条件から、これらはB国のメンバーの番号とは一致しない。
また
1≦b[2]-b[1]＜b[3]-b[1]＜…＜b[66]-b[1]≦1977
であるから、上記の65通りの差は、他の国のいずれかのメンバーの番号と一致している。
ここで、上記のいずれかがA国のメンバーの番号のいずれかと一致したと仮定する。
このとき
b[k]-b[1]=a[l]
と書ける。
ところで
b[k]=a[i]-a[1]
b[1]=a[j]-a[1]
となるような番号a[i]、a[j]が存在するので、
b[k]-b[l]=(a[i]-a[1])-(a[j]-a[1])=a[i]-a[j]=a[l]
となり、これは問題の条件に反する。
したがって上記の65通りの差はすべて、A国のメンバーの数字とは一致しない。
したがって残った四カ国のいずれかのメンバーと一致する。
65=4*16+1
だから、残った四カ国のうち少なくとも一カ国は、上の65通りの差のうちの、17通りに一致している。
これをC国とする。
同様に一致しているメンバーの番号を小さい方から並べて
c[1]＜c[2]＜…＜c[17]
とでき、16通りの差
c[2]-c[1]、c[3]-c[1]、…、c[17]-c[1]
を作る。
1≦c[2]-c[1]＜c[3]-c[1]＜…＜c[17]-c[1]≦1977
だから、これらは他の国のメンバーの番号に一致する。
仮に差c[k]-c[1]がB国と一致したと仮定すると
c[k]-c[1]=b[l]
とおける。
一方
c[k]=b[i]-b[1]
c[1]=b[j]-b[1]
とおけるので、
c[k]-c[1]=b[i]-b[j]=b[l]
となって問題の条件に反する。
したがってB国の番号とは一致しない。
またA国の番号と一致したとすると、
c[k]-c[1]=a[l]
とおけて、
c[k]=b[i]-b[1]、c[1]=b[j]-b[1]
だから
c[k]-c[1]=b[i]-b[j]
ところでb[i]=a[m]-a[1]、b[j]=a[n]-a[1]となるようなm,nが存在するので、
b[i]-b[j]=a[m]-a[n]=a[l]
となってやはり問題の条件に反する。
したがってA国とも一致しない。
したがって上記の16通りの差は、A,B,C以外の残った三カ国のメンバーの番号に一致する。
16=3*5+1
だから、残った四カ国のうち少なくとも一カ国は、上の16通りの差のうちの、6通りに一致している。
これをD国とし、小さい方から
d[1]＜d[2]＜…＜d[6]
とする。
同様に5通りの差を作ると、
1≦d[2]-d[1]＜d[3]-d[1]＜…＜d[6]-d[1]≦1978
で、いずれかの国のメンバーの番号と一致する。
しかしながら、C国を考えたときと同様に、A,B,Cのいずれの国と一致すると仮定しても矛盾が生じる。
よって上記の5通りの差は残った二カ国のいずれかに一致している。
5=2*2+1
だから少なくとも一方は三通りの差と一致する。
それをE国とし、小さい方から
e[1]＜e[2]＜e[3]
とできる。
1≦e[2]-e[1]＜e[3]-e[1]≦1978
だから、この二通りの差は、いずれかの国と一致するが、やはり同様に残った一国F国に一致するしかない。
それを小さい方からf[1]＜f[2]とすると、1≦f[2]-f[1]≦1978であるが、いずれの国のメンバーの番号と一致するとしても矛盾が生じる。

したがって題意は成り立つ。

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