円周率はもちろんπですよね？

あっ　体積じゃなくて面積を求めてしまいました。
でも高校一年の僕が解ける問題か審議するために、こんな形ですか？っていう問題を解く上での方針みたいなものを書いてみました。
どうですか？

　　　　　(^.^;)

いいのか？

面積もとめてた…
降参。

計算が面倒そうなのでパス。

「側面」の形がポイントですね。
　　あとは、現役受験生のみなさんにおまかせしよう。

まさかー
自信がない〜

勘…ですかね…

計算ミスしてそうなので、途中省略で答えのみです

いや、まさかねｗｗｗ

答えだけです。

　　↑
「回転体」の最大半径は、「斜辺」に相当するんですよ

　　（「積分」すればすんなりですが、　　パス ）←横着モン！！

こうですかね？

おお・・・
中三の友人と二人で頑張った甲斐がありました・・・

かなり遠回りしましたが、約分できるだけしてこうなりました

考え方を書いてみました

あれ？？ ・・・いや、同じですね

途中で勘も使いました

積分らしい積分をしない無精者です．

寝呆けて自分の解答を見ていたら，うっかり「返信を修正」ボタンを押してしまいました．
見にくくなってすみません．これは何とかならないですかね．
このサイトが Perl で書いてあるなら，おそらく１行の追加で済むと思うのですが．
ついでに誤字訂正「型」→「形」です．

本当ですね．２倍を忘れています．

あまりきれいな値になりませんでした

円錐の母線の長さは、三平方の定理より、
√(5²+12²)=13
ここで、底面の直径をAB、円錐の母線をAO,BOとした△ABOを考える。
AからBOに下ろした垂線の足をHとし、OH=x とおくと、三平方の定理より、
13²-x²=10²-(13-x)²
∴OH=x=119/13,BH=13-x=50/13,AH=√(13²-x²)=120/13
Oを通りBOに垂直な直線上に点Pをとり、Pを通りOPに垂直な直線とAB,AOとの交点をそれぞれC,Dとする。
OP=h とおくと、
CD:13=(120/13-h):120/13
∴CD=13-169/120*h
PD:119/13=h:120/13
∴PD=119/120*h
(10-BC):10=(120/13-h):120/13
∴BC=13/12*h
OPに垂直な平面をQ、Qと円錐の底面の円周との交点のうちの一つをEとすると、三平方の定理より、
CE²=5²-(5-BC)²
=10BC-BC²
=65/6*h-169/144*h²
PE²=PC²+CE²
=(CD+PD)²+CE²
=169-h²
よって、円錐を転がしてできる立体をQで切ったときの断面積は、
πPE²-πPD²
=π(169-28561/14400*h²)
故に、この立体の体積は、
∫[0,120/13]π(169-28561/14400*h²)dh
=π(169*120/13-28561/43200*(120/13)³)
=1040π

できる立体は、半径13の半球を断面に平行な平面で断面から120/13の距離で切断し、さらにその断面を底面、半球の中心を頂点とした円錐で切り取ったものとなります。