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円錐を転がすと?
難易度:
★★★
neutrino
2009/09/05 15:57
底面の半径が5、高さが12の直円錐がある。この円錐を側面が接するように平面に置き、頂点を固定して転がす。
このとき、この円錐が通過する部分の体積を求めよ。ただし、円周率はπとする。
【
1040π
詳細は
>>21
参照
】
回答募集は終了しました。
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△
▽
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No.1
ヒミツ
SHAMBLES
2009/09/05 16:23
円周率はもちろんπですよね?
neutrino
そうです、πです。問題文に書き足しておきます。
回答については、どのような図形をイメージしたのか分かりませんが、それよりもずっと大きな値になります。
▲
△
▽
▼
No.2
ヒミツ
SHAMBLES
2009/09/05 17:00
あっ 体積じゃなくて面積を求めてしまいました。
でも高校一年の僕が解ける問題か審議するために、こんな形ですか?っていう問題を解く上での方針みたいなものを書いてみました。
どうですか?
neutrino
そうです、その形で合っています。ただ、高校一年の範囲で解くのは…無理かもしれません。
すみません
▲
△
▽
▼
No.3
ヒミツ
yama
2009/09/05 18:04
(^.^;)
neutrino
違います。もっと大きくなります。
▲
△
▽
▼
No.4
ヒミツ
magic
2009/09/05 20:39
いいのか?
面積もとめてた…
降参。
neutrino
違います。面積でもないですね…
▲
△
▽
▼
No.5
ITEMAE
2009/09/05 20:50
計算が面倒そうなのでパス。
「側面」の形がポイントですね。
あとは、現役受験生のみなさんにおまかせしよう。
neutrino
そうです、側面がポイントです。
確かに途中ややこしい分数が出てきますが、最終的にはきれいな値になりますよ。
▲
△
▽
▼
No.6
ヒミツ
相絵世良
2009/09/05 20:52
まさかー
自信がない〜
neutrino
違います。まだ大きくなります。
▲
△
▽
▼
No.7
ヒミツ
magic
2009/09/05 21:15
勘…ですかね…
neutrino
だんだん近づいてきていますが、まだ大きくなります。
▲
△
▽
▼
No.8
ヒミツ
ボムボム
2009/09/06 04:53
計算ミスしてそうなので、途中省略で答えのみです
neutrino
正解です!
計算ミスしてませんよ。
▲
△
▽
▼
No.9
ヒミツ
Karin414
2009/09/07 17:35
いや、まさかねwww
neutrino
不正解です…
▲
△
▽
▼
No.10
ヒミツ
仮名ライダー
2009/09/07 20:00
答えだけです。
neutrino
その解答は実は違います。
(以下ヒントになるので白字)
その場合、「底辺が10で高さが12の二等辺三角形の、頂角を通り底辺でない一辺と垂直な直線を軸とした回転体」の体積を求めたことになってしまいます。つまり、この問題では底面の横の広がりを考慮しなければならないのです。
▲
△
▽
▼
No.11
ITEMAE
2009/09/09 00:35
↑
「回転体」の最大半径は、「斜辺」に相当するんですよ
(「積分」すればすんなりですが、
パス
)←横着モン!!
▲
△
▽
▼
No.12
ヒミツ
おかもっちゃん
2009/09/12 18:01
こうですかね?
おお・・・
中三の友人と二人で頑張った甲斐がありました・・・
neutrino
正解です!
正解者二人目です。
▲
△
▽
▼
No.13
ヒミツ
よっしー
2009/09/15 13:52
かなり遠回りしましたが、約分できるだけしてこうなりました
neutrino
う〜ん、大分小さいです…
▲
△
▽
▼
No.15
ヒミツ
よっしー
2009/09/16 12:34
考え方を書いてみました
neutrino
実は、最初にイメージした図形が間違っています。
No.10の回答にも書きましたが、できる立体は、二等辺三角形の回転体ではありません。
本当は、もっと膨らんだ立体になります。
▲
△
▽
▼
No.16
ヒミツ
よっしー
2009/09/16 12:44
あれ??
・・・いや、同じですね
▲
△
▽
▼
No.17
ヒミツ
ドーモ
2009/09/16 20:22
途中で勘も使いました
neutrino
その勘が間違っていたのかもしれません…
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△
▽
▼
No.18
ヒミツ
nn)/
2009/09/18 13:06
積分らしい積分をしない無精者です.
寝呆けて自分の解答を見ていたら,うっかり「返信を修正」ボタンを押してしまいました.
見にくくなってすみません.これは何とかならないですかね.
このサイトが Perl で書いてあるなら,おそらく1行の追加で済むと思うのですが.
ついでに誤字訂正「型」→「形」です.
neutrino
非常に惜しいです!
最後の最後で計算間違いをしています。
▲
△
▽
▼
No.19
ヒミツ
nn)/
2009/09/20 00:53
本当ですね.2倍を忘れています.
neutrino
正解です!
▲
△
▽
▼
No.20
ヒミツ
ドーモ
2009/11/23 14:34
あまりきれいな値になりませんでした
neutrino
二行目までは合っていますが、三行目の部分の体積の求め方が違います。
実際には、結構きれいな値になりますよ。
▲
△
▽
▼
No.21
neutrino
2010/01/06 00:15
円錐の母線の長さは、三平方の定理より、
√(5
2
+12
2
)=13
ここで、底面の直径をAB、円錐の母線をAO,BOとした△ABOを考える。
AからBOに下ろした垂線の足をHとし、OH=x とおくと、三平方の定理より、
13
2
-x
2
=10
2
-(13-x)
2
∴OH=x=119/13,BH=13-x=50/13,AH=√(13
2
-x
2
)=120/13
Oを通りBOに垂直な直線上に点Pをとり、Pを通りOPに垂直な直線とAB,AOとの交点をそれぞれC,Dとする。
OP=h とおくと、
CD:13=(120/13-h):120/13
∴CD=13-169/120*h
PD:119/13=h:120/13
∴PD=119/120*h
(10-BC):10=(120/13-h):120/13
∴BC=13/12*h
OPに垂直な平面をQ、Qと円錐の底面の円周との交点のうちの一つをEとすると、三平方の定理より、
CE
2
=5
2
-(5-BC)
2
=10BC-BC
2
=65/6*h-169/144*h
2
PE
2
=PC
2
+CE
2
=(CD+PD)
2
+CE
2
=169-h
2
よって、円錐を転がしてできる立体をQで切ったときの断面積は、
πPE
2
-πPD
2
=π(169-28561/14400*h
2
)
故に、この立体の体積は、
∫[0,120/13]π(169-28561/14400*h
2
)dh
=π(169*120/13-28561/43200*(120/13)
3
)
=1040π
できる立体は、半径13の半球を断面に平行な平面で断面から120/13の距離で切断し、さらにその断面を底面、半球の中心を頂点とした円錐で切り取ったものとなります。
このクイズのヒント
ヒント知らないよ
このクイズの参加者(12人)
SHAMBLES
yama
magic
ITEMAE
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相絵世良
ボムボム
Karin414
仮名ライダー
おかもっちゃん
よっしー
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ドーモ
nn)/
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