2で割ると1余る。(奇数と分かる)
10で割ると9余る。(9以上の奇数・下一桁9)
5で割ると4余る。(下一桁5･9)

分かったこと：奇数である。下一桁は9である。

○で割ると○−１余る。・・・○の倍数−１

２で割ると１あまり3で割ると２余る→５・１１・１７→(２×３×Ｘ)−１＝６−１これに４を当てはめると２３は両条件に当てはまると分かる。(２３÷２＝１１余り１、２３÷３＝７余り２)

２で割ると１余り、３で割ると２余り、４で割ると３余るという数は２３があげられる。これは、(２×３×４×Ｘ)−１で求められる(?)と思う。

これならば・・・と思ったがこの式が本当に通用するか試さなければならない。２で割れば１余る〜５で割れば４余る　これが２×３×４×５−１で通用するならば、信用できる式である。ひとつが１１９があげられる。これが本当に条件に当てはまるか？奇数であるから２で割ると１あまる。３で割ると１１７余り２、４で割ると１１６余り３、５で割ると１１５余り４であった。信用できるかも。もしこの式がこの問題に通用するならば２で割ると１余る〜１０で割ると９余るの条件が当てはまる数は(２×３×４×５×６×７×８×９×１０×Ｘ)−１
＝３６２８８００Ｘ−１が考えられる。Ｘ＝１とすると３６２８７９９である。これは条件にあてはまるか・・・どうやら条件に当てはまるようである。これならば、Ｘに２を代入しても条件に合うのでは・・・？完全に確認してはおりませんが、３６２８７９９は確実だと思います。

よって解答は
３６２８７９９(Ｘ＝１)
７２５７５９９(Ｘ＝２)
１０８８６３９９(Ｘ＝３)
５４４３１９９９(Ｘ＝１５)
３５９２５１１９９(Ｘ＝９９)

など・・・

要するに　３６２８７９９Ｘ−１の値が答え(?：確認していません)だと思います。第一、こんな解法で良いのか・・・　ふと規則性に気づき勝手に式を作りましたが・・・Ｘには何を代入しても良いのか・・・不明な点も多いのですが・・・時間があれば全て確認します。間違いがあればまた考え直してみます・・・それでは


(奇数より２で割ると１余る、下一桁が９より５で割ると４余る、下一桁が９より１０で割ると９余ることは見れば分かるので計算していません。よって、確認には３・４・７・８・９で割っております)

もっと簡単な方法もあるんでしょうがそれを知りませんので。長々と書いてすみません

自分でやってるうちに団長さんが解いてしまいました

ただ，「○で割ると○−１余る。・・・○の倍数−１」という考え方から，2〜10までを全て掛け合わさなくても「(2から10の最小公倍数)-1」でいいんじゃないかと思います。
よって，(2^3)*(3^2)*5*7=2520より，
2520n-1（但し，n≧1の整数）

「○で割ると○−１余る。・・・○の倍数−１」に気付けるかどうかが勝負って感じでしょうか。
団長さんはいくつか具体の数で実験して気付かれたようですが，文字式で書くと
aで割るとa-1余る場合，an+(a-1)=a(n+1)-1となるので必ず「aの倍数-1」になります。

……なにやら、すさまじい計算が展開していますね。
解答の上限を決めていませんでしたので、
もちろん、お二人とも正解です

詳しい解答は、風花さんの書かれている通りです。
補足も必要ないですね