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四角形ABCDについて（算数?）3

難易度：★★★★ 　

ケンスー 2008/11/09 14:37

久々に出題します。

四角形ABCDは長方形であり、面積は88ｃｍ²である。今、辺AB、BC、CD、DA上にそれぞれE、F、G、Hをとる。
AH=8ｃｍ、BF=5ｃｍ、CG＞BE、四角形EFGHの面積が38ｃｍ²であるとき、CGとBEの差を求めよ。

できれば新たな未知数をおかずに解いてください。

さらに一問。
四角形ABCDは長方形であり、面積は88ｃｍ²である。今、辺CD、DA上にそれぞれE、Fをとる。
AF=6ｃｍ、三角形BEFの面積が38ｃｍ²であるとき、CEを求めよ。




	【数学問題（？）パレードです。難易度は1～5の五段階でつけています。数字が大きいほど難しいです。 ①（大問1）　難易度3 一直線上にない任意の三点ABCをとり、三角形ABCをつくる。AB、AC上にそれぞれM、NをBM＝MN＝NCとなるようにとる。このときM、Nを作図（定規・コンパス）しなさい。 ②　(1)難易度1 　　(2)難易度2 条件付き難易度5 AB=ACの二等辺三角形ABCがある。BC上に任意の点Dをとると∠ADB＝60°になった。このとき次の問いに答えよ。　　(1)BD＝2+√3,DC＝1のときABの値を求めろ。 (2)BD＝5,DC＝3のときABの値を求めろ。 ③　難易度2 条件付き難易度6 四角錐O-ABCDがある。側面はすべて正三角形であり四角形ABCDは正方形である。今OAを三等分する点のうちAに近いものをM、OBを三等分する点のうちBに近いものをNとしMNCDで四角錐を二つに分ける。このときAをふくむほうの立体の側面積はもとの四角錐の側面積の何倍であるか。 ※②、③の条件三平方の定理・正弦定理・余弦定理（三角比）を使わず解く。 ②（2）はずるいですだって三角比より後に習うことを使いますからね～。まぁ発想力を鍛える問題ということでおまけ（算数数学に関係ない）＿｜ <u>　</u> 】

回答募集は終了しました。

▲ △ ▽ ▼ No.1

ヒミツ

PDJ 2008/11/09 15:24

ということで

ケンスー正解です (^^)

▲ △ ▽ ▼ No.2

ヒミツ

兼８ 2008/11/09 16:21

図で答えられたら…

数学的な説明ではないかもしれませんがチャレンジします。 (^^)

ケンスー正解 (^^)

でもその方法では解けない問題を追加しておきます。是非解いてください。

▲ △ ▽ ▼ No.4

ヒミツ

ボムボム 2008/11/10 21:05

「できれば～」辺りが少し気になりますが… (^^;)

最後の部分、スレ違いで申し訳ありません (;_;)

ケンスー遅くなってすいません。正解です。
僕が考えたやり方は、まず1²+・・・x²（★）という例のやつをax³+bx²+cx+d（☆）（xじゃなくてnかも）とおく。ただし、xに0を☆に代入するとd、★に代入すると0。仮定より☆=★。よってd=0。xにx+1を☆に代入するとax³+(3a+b)x²+(3a+2b+c)x+a+b+c（◇）。★に代入すると1²+・・・x²+(x+1)²（◆）。◇=◆、☆=★より◇－☆=◆－★。よって3ax²+(3a+2b)x+(a+b+c)=(x+1)²。あとは右辺を展開してa、b、cを順に求める。そのabcを☆に代入して因数分解すれば{x(x+1)(2x+1)}/6が出てきます。

▲ △ ▽ ▼ No.5

ヒミツ

兼８ 2008/11/11 06:26

大間違い。恥ずかしい。
訂正します。頭の悪さが露呈してしまいました… (;v;)

ケンスーできればもう少し詳しくお願いします (;_;)

▲ △ ▽ ▼ No.6

ヒミツ

兼８ 2008/11/13 00:49

説明がまずくて申し訳ありません。 (;o;)

まちがいもありましたので１からやりなおしてみました。
あまり変ってないですが、いかがでしょう？ (^^)

ケンスーとても分かりやすかったです (^_^)

ありがとうございます。

▲ △ ▽ ▼ No.7

ヒミツ

ボムボム 2008/11/17 17:55

次は問題２です

あと「シグマ記号」の問題に少し疑問がありまして… (^^;)

Σ（kの二乗）（k=1からn）が、nについて三次の多項式になるという証明が必要だと思うのですが。ここをクリアしないと、上の答えだけだと不備だと思います。
多項式であれば高々三次なのはわかりますが、多項式になるのは自明でないと思うのですが…

ケンスー正解 (^_^)

たしかにそうですが、Σk⁰(k=1からn)の場合、n⁰は1になるのでこの値はn（一次）。Σk¹(k=1からn)はn(n+1)/2（二次）。こうくればΣk²(k=1からn)は三次になる、と思ったんですけど・・・。
ちなみにもし二次であるとすれば最後のときに矛盾が生じ、三次以上ならばちゃんと答えが出ます。

▲ △ ▽ ▼ No.8

ボムボム 2008/11/21 20:59

↑確かに多項式なら三次なのですが、多項式になるという保証がないんです (・o・∥)

例えば「"1/n" という項が入らないか？」とか、「"2ⁿ"の項は？」などなど…
言い出すとキリがないですが、それらの項すべては排除できて、少なくとも多項式の和になっているのはなぜか？というところをしっかりと言わないとだめだと思います。
感覚的には入らないと思うのですが、証明なので「感覚的に」とも書けないですし (^^;)

ケンスー実はボクもそのこと気になっていまして・・・。だから最近Σk^a(k=1~n)の場合、aが実数であればその公式が求めることが出来るか、と思ったりしてます (+_+)

▲ △ ▽ ▼ No.9

ボムボム 2008/11/24 19:13

参考になりそうなページを発見しました (^^)

http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/sum/sum.htm
ちなみに、多項式になるかどうかは数学的帰納法から導いておりました。
「多項式うんぬん」以外についてもいろいろと触れられていて、発展的でかなり興味深い内容でした (^^)

（略解）
「pについての帰納法」
(p-1)次まで成立していると仮定。
(k+1)^p+1-k^p+1
の展開式をk=1～nまで和をとる。
展開式は最高次数がk^pなので、p次を左辺に移項、(p-1)次以下を右辺に。
帰納法の仮定から(p-1)次以下である右辺の和をとれば右辺は多項式になる。
左辺も(k+1)^p+1-k^p+1は和をとっていけば次々に消えるので、(n+1)^p+1-1の項だけが残る。
あとは移項したりして整理すれば、k^pの和は多項式になる。

↑でもこの証明だと、次数が低いなら途中でk²ぐらいなら計算できてしまう。
わざわざ遠回りして、「多項式証明→多項式の係数を求める」の道を辿らなくてもという気はします… (^^;)