AB=4
AC=6
BC=5
CD=4
って長さのことですか？
そしたら対角線の長さもあるんですね。

△ABCと△ACDが合同で無いとき・・・ですよね？
そのような状況が起こりうるのでしょうか？
△ABCと△ACDは底辺が共通なので、高さは同じになるのでは？
AB＝CDの状況ではAD＝BCになり、AD＝5
ですが、三平方の定理より、∠ABC≠90度
同様に4つの角は90度ではない。
よって、これは前の条件と矛盾しているので、不適。
よって、この四角形は存在しない。ではないでしょうか？
間違ってたらごめんなさい。高校生からの意見です（青二才）

ヒミツ

△ABCと△ACDの面積が等しく、ACを共通の辺としているので、ACを底辺とした時の二つの三角形の高さは等しい。
よって、直線ACに、頂点BおよびDからおろした垂線の足をそれぞれP・Qすると、BP=DQとなる。また問題文より、AB=CD=4
ここで、斜辺と他の一辺がそれぞれ等しいので△ABP≡△CDQ。
また、もし、∠BAC=∠DCAであるとすると、二辺とその間の角がそれぞれ等しいので、△ABC≡△CDAとなるが、それは問題文に反するため、∠BAC≠∠DCA。よって、∠DCQ=180°-∠DCA
ここでAP=CQ=a、BP=DQ=bとしてAQD、APB、CPBの三つの直角三角形に、三平方の定理を適用すると、
AD^2=(6+a)^2+b^2
4^2=a^2+b^2
5^2=(6-a)^2+b^2
となる。
これら、三つの式から、a、bを消去するとAD=√79

DからACに下ろした垂線の足をEとする。
AE^2+DE^2=AD^2
CE^2+DE^2=CD^2=16
AE^2=(AC+CE)^2=36+12CE+CE^2
52+12CE=AD^2
さらに
CE=CFとなるFをAC上に取り、長方形DEFGを作るとAG=5となる。
(AC-CE)^2+DE^2=25
36-12CE+CE^2+DE^2=25
27=12CE
52+27=79

よって AD=√79
使用したのは三平方の定理のみです。

平行な線に直線を書き加えて三角形や四角形を作る場合、上の辺と下の辺の和が等しいとき、面積も等しいはずだから、５ではないのですか？

図を使いえないので説明が難しいです。
概略だけ言うと平行四辺形つくって、中線定理を使った計算方法です。
答え、√79

（説明）
点Bの辺ACについて線対称な点を点Eとする。
△ABCと△AECは合同。
AE=AB=4
EC=BC=5

点Eを通り、ACに平行な直線を引く。
△ABCと△ACDの面積が等しいので、点Dはこの平行線上にある。
CD=4なので、点Dは二点選べる。
点Eに近い方から順にF、Gとする。
AF=5で、これは△ABC≡△AFCであるから題意に反する。

もう一つの点GはAG≠5でこちらが点D。
このとき実は、四角形ACDEは平行四辺形である。

というのも四角形ACFEはAE=CF=4の等脚台形で、△CFDはCF=CD=4の二等辺三角形。
これらから∠CDF=∠CFD=∠FCA（錯角）=∠EAC。
あと∠DEC=∠ACE（錯角）から、△AECと△DCEが内角全て等しい。
さらに一辺がAE=CD=4で等しいので、この二つは合同。
なのでAC=DE=6で向かい合う二辺がそれぞれ等しくなるから。

四角形ACDEの対角線の交点をMとする。
平行四辺形の性質から、AM=MD及びCM=MEである。
三角形ACEと辺CEの中点Mを使って中線定理を適用。
AE^2+AC^2=2*(AM^2+MC^2)
AE=4、AC=6、AM=AD/2、MC=DC/2=5/2を代入して

52=2*(AD^2/4+25/4)
式変形してAD^2=79
AD=√79

ヒミツ