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不等式
難易度：★ 　
?aiu 2008/09/29 00:41
（１） 0＜p＜1，-2＜q＜1，-3≦r≦-1のとき、
　　問１ 1/pqの取りうる値の範囲は?
　　問２ {(p/r)＋2}qのとりうる値の範囲は?

（２）(-1/2)1/3、(-1/2)1/5、(-1/2)4/3の大小関係を不等式で示せ。

Answer【（１）
問１ 条件より、-2＜pq＜1がわかる。pqは正の値で限りなく小さい値とることができ、　 負の値で限りなく０に近い値を取ることができるのでpqの逆数は正の値では限りなく大きい、負の値では限りなく小さい値をとりうる。また、pqの正の値での上限が１、負の値での下限が-2なのでpqの逆数は
正の値では1/1より小さくなることはなく、負の値では1/(-2)より大きくなることは無い。
これをまとめると、1/pq＜-(1/2),1＜1/pqとなる。

問２ {(p/r)+2}<sup>q</sup>―①
条件より、-3＜p/r＜0とわかり、-1＜(p/r)＋2＜2―②
がわかる。
(i)qを限りなく1に近い値で考えてみると、②より
　 －1＜①＜2
(ii)q＝-1で考えてみると、①は②の逆数となるので問1と同じように考えて、
　　①＜-1，1/2＜①
(i),(ii)より
　　　　①のとりうる値は-1以外の全ての実数

（２）
(-1/2)<sup>1/3</sup>＝<sup>3</sup>√(-1/2)＝-1/(<sup>3</sup>√2)
(-1/2)<sup>1/5</sup>＝<sup>5</sup>√(-1/2)＝-1/(<sup>5</sup>√2)

3回かけて2になる数と、5回かけて2になる数では3回かける数の方が大きいので、
(<sup>5</sup>√2)＜(<sup>3</sup>√2)

よって、-1/(<sup>5</sup>√2)＜-1/(<sup>3</sup>√2)で、(-1/2)<sup>1/5</sup>＜(-1/2)<sup>1/3</sup>―①

ここで、(-1/2)<sup>4/3</sup>は(-1/2)<sup>1/3</sup>（負の値）の4乗(偶数乗)なので、(-1/2)<sup>4/3</sup>は正の値である。

よって、(-1/2)<sup>1/5</sup>＜(-1/2)<sup>1/3</sup>＜(-1/2)<sup>4/3</sup>

】
■
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