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もんだい
難易度：★★ 　
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3つの自然数があります。これら3つの和は5の倍数で、積も5の倍数です。
また、これら3つのうちの最も大きい数と最も小さい数の差が10であるとき、これら3つのうち少なくとも1つ偶数があることを示してください。
Answer【3つの整数をa,b,c（a≦b≦c）とおく。
a+b+c＝5m（mは整数）…①
abc＝5n（nは整数）…②
c-a＝10…③

②より、3つの整数のうち5の倍数が少なくとも1つあることがわかる。
ここで、5の倍数が1つのとき、2つのとき、3つのときで場合分けをする。

（ⅰ）5の倍数が1つのとき
③より、aかcが5の倍数なら③は不成立となるので、bが5の倍数だと決まる。
また、③より、aとcの下1桁が一致する…（★）
つぎに、①より、bが5の倍数なのでa+cが5の倍数だとわかる。
（★）より、a+cは偶数＋偶数または奇数＋奇数となるので5の倍数にはならない。
よって、不適

（ⅱ）5の倍数が2つのとき
①より、a,b,cのうち2つが5の倍数ならば残りの1つも自動的に5の倍数となるので、不適

（ⅲ）5の倍数が3つのとき
aとcが5×偶数のとき、③より、bは5×奇数ということがわかるので、偶数が2つあることがわかる。
aとcが5×奇数のとき、③より、bは5×偶数とわかるので、偶数が1つあることがわかる。
よって、（ⅰ）～（ⅲ）より、題意は示された。】
■
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    ヒント知らないよ

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