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11の謎

難易度：★★★ 　

暇人

11^nの十の位は、nが自然数のとき、nの一の位と一致することを示してください。




	【11^nの十の位をa(n)で表すこととする。 11^1=11→a(1)=1 11^2=121→a(2)=2 11^3=1331→a(3)=3 11^4=14641→a(4)=4 … 11^9=2357947691→a(9)=9 11^10=25937424601→a(10)=0 … となり、a(n)の値は10ごとに循環する。また、その値は0～9を順番に繰り返す。 a(1)=1だから、11^nの十の位はnの一の位と一致する。 [別解] 11^nの十の位をa(n)とおく。 n≡a(n) (mod 10)を帰納法で示す。 (1)n=1のとき、明らかにa(1)=1 (2)n=kのとき11^k≡a(k) (mod 10)が成り立つと仮定する。11^nの一の位は常に1であるから、任意の自然数bを用いて、 11^k=100×b+10×a(k)+1 と表せる。 11^(k+1)=11^k×10+11^k =100×(11b+a(k))+10×(a(k)+1)+1 したがって、a(k+1)≡a(k)+1 (mod 10) ゆえに、k+1≡a(k+1) (mod 10) (1)(2)より、n≡a(n) (mod 10)は証明された。】