こたえじゃないけど

こんなかんじで

紙を折るのも反則だとすると

一見作図不能に見えますが 、相当運が悪くない限り（宝くじの一等を宝くじが続く限り毎回当てるよりも理論上は難しい確率だと思います ）作図できます。
運の悪さを回避するために、作図をするときにやや恣意的な部分が存在しますが、それは回答を発表したときに突っ込んでください

ヒントは一週間ぐらいを目処に

追記(5/29)
いはらさんの解答により確実に作図できることが分かりました

はて

ヒントの前のヒント（！？）…のような考え方のような…です。

まず普通に作図と言われて登場する"コンパス"のできることは、ある線分の長さを別の直線上に写し取る、といった「任意の点から任意の距離の点を見つける」道具として僕は認識しています。
今回問題（２）では、確かにコンパスのように長さが測れれば問題ないのですが、目標とするのは、「任意ではなく、ある特別な点からある特別な距離だけ離れた点を見つけること」と言い換えることができると思います。
そのためにも問題（１）のテレビ番組で登場した模範解答が必要なのです。

そこで、まず（１）についてかなり正解に近づいたヒントを。
テレビ見てないぞ〜という方のために念のため白字にします。

正方形の一辺をABと名前を付けたときに、直線AB上でAB=BC(AとCは異なる）となる点Cを探せばいい。

問題（２）ではこの点を見つける方法を考えることになります。

さらにもう一つのポイントを。
今回の場合は正方形が先に紙に書かれている、ということです。
何も書かれていなければきっと正方形を書くこと自体がもうムリな話でしょう。
あえて「正方形が書かれた紙」と書いたのは、正方形も使えることを強調したかったからです。

このことをふまえて考えてみてください

ボムボムさん、こんにちは！
なかなか面白い問題ですね。

紙が十分大きければ、確実に作図できると思うのですが・・・

まさかこれか？

No.4に対する補足です。
いはらさんの解答のおかげで、「運悪く」ではなく「確実に」作図できることが分かりました！

問題に対する補足：
問題に「紙は正方形に比べて十分大きい」という言葉を付け足す必要がありますね

確かにBとPを結ぶの間違いでした
紙に描かずに頭の中だけで考えたので間違えてしまいました。
お手間をとらせて申し訳ありませんでした。

運が悪いと作図できない方法というのは思いつきませんでした。
そっちの方が気になります

では一週間ほど経ったのでヒントをば。

No.6にも書いてあるようにこの問題ではある点を探すことが目標です。
その点を探すためにどうしても必要なのが、正方形の各辺の中点を見つけることです。
模範解答とさせていただいた、いはらさんの方法でも、僕が考えていた当初の方法でもそこに変わりはありません。

作図の方法のポイントですが、正方形が書かれているということで、平行な直線が初めから書かれているということになります。
このことをうまく使い、直線を引くだけで中点を見つけることができます。

作図で使える"ものさし"についてです。
この"ものさし"でできることは「直線を引くこと」ですが、「任意の二点を通る直線」ということを忘れないようにしてください。
つまり、自分で適当に一点とってこの点と正方形の頂点を通る直線を引くことはできます。
あとは直線と直線の交点がでてきて、またこの点と正方形の頂点とを通る直線を引いて…の繰り返しで結果的に正方形の辺の中点を通るような直線が引ければいいわけです。

ちなみに……辺の中点を探すだけなら平行四辺形でも可能です。また
　(1)辺のn等分
　(2)辺のn倍
　(3)任意の点を通る、辺に平行な直線を引く
　(4)与えられた任意の線分のn等分やn倍
ぐらいまでは未検証ですが、できると思います。（ここでnは自然数）
平行四辺形ではここまでだと思いますが、正方形だとさらに
　(5)任意の直線に垂直な直線を引く
こともおそらく可能だと思います。

（7/1追記）

中点の求め方まで。

うーん「何度も線をひいて平行線を求める」の意味がわかりません

平行に近い線をひき
他の線との交差点を参考に
次により平行に近い線をひく・・・・・
こういう繰り返しは確かに可能ですが
この方法は永遠に「平行線」は書けない気がします

正解とは違うと思いますが
最初の正方形が傾いていず
用紙の辺と平行であれば
作図方法をみつけました

中点求める必要ないかも

しばらく囁きがないのでここでもう一つヒントです。
いはらさん、fyhさんの解答で中点を証明するときにつかう定理はズバリ…
チェバの定理です。
これでなくても証明はできると思いますが、これが一番分かりやすそうでしたので。

前提
・辺の2等分ができる
補題
・辺の2ⁿ等分ができる

平行線と相似の関係から(1)(2)は可能（片方の辺の一部を m:n に分けることができればもう片方の辺を m:n に分けることが可能。ただし整数比のみ）
(3)は囁き
(4)任意の線分の両端から AB に平行な線を引き、BC との交点を E,F とする。(1)(2)と同様に EF を n等分することは可能。その点を G としたとき、G を通り AB と平行な線を引けば元の線分を等分できる。
（ここまで平行四辺形でも可）
(5)は考え中

(5)
>>16 より、辺に平行な直線・対角線に平行な直線を引くことができる。
＝任意の点を通り辺に垂直な直線・対角線に垂直な直線を引くことができる。

囁きで簡単に任意の線の垂線が引けるじゃないか

＞PQR
線と対角線の交点がP
辺と線の交点がQ
辺と対角線の交点がR
です

角の二等分は考え中・・・

せっかくfyhさんが考えていただいているので、ここでもう一つ
コンパスなしで作図できるかどうか、皆さんに考えていただきたいものがありまして…

「任意の角の二等分線」

です。
角は鋭角を考えれば十分だと思いますので0度＜θ＜90度ということで。
あと、60度や45度などの特別な角度は簡単にできそうな気がするので、一般の角についてもできる方法を（任意と言っているので当たり前ですが…）

僕は現在うまくいく方法が見つかっていません…
本題の解けた、いはらさん、fyhさん、もしよろしければ挑戦してみてください

確認のために…
正方形が書かれていて、コンパスなしで作図できること。
(1)任意の線分のn等分やn倍
(2)任意の点を通る辺に平行な直線を引く
(3)任意の線分に垂直な線を引く

あれにはチェバの定理という名前があったんですね。知りませんでした

随分議論が発展してますね。
確かに下記3点が可能なことは確認できました。
(1)任意の線分のn等分やn倍
(2)任意の点を通る辺に平行な直線を引く
(3)任意の線分に垂直な線を引く
角の二等分についても結論が出ましたので囁いておきます。

ボムボムさん出題の2問目は、答えの立体はすぐ分かったのですが、
形状を表現する文章力はないし、体積を計算する気力もなく、
参加を見合わせていただきました
---
囁きの公開了解しました。
確かに悲しい結論ですので、できれば否定してもらいたいところですね。

チェバの定理については勘違いしていました。
あの作図方法自体が定理だと思ったのですが、調べてみたら別物でした。
あれで中点が作図できることを証明するために使うということなんですね。
私は、対角線の交点から平行線を引いたときにできる
ある2つの三角形の面積が等しくなることを示して証明しました。

＞いはらさん、ありがとうございます
了承が得られましたので、No.19のいはらさんの囁きを公開します。
fyhさん、いかがでしょうか？

僕が思うのは、いはらさんの「ものさしは有理数係数一次式の解」という言葉とつなげるなら、コンパスと併せてできることは「有理数係数二次方程式を解く」ことなんだろうと思います。
角の二等分はおそらく二次方程式に相当するだろうと…
なので、正方形以外にさらにy=x²のグラフとx,y軸が書かれていれば、あるいは、円が一つ書かれていれば、ものさしだけで二等分はできると思います。

できれば、「ものさし＋正方形」で角の二等分を達成したいですが…
嘘であってほしいという願望も込めて、もう少し考えてみます

たしかに >>19 の証明を見る限りではできないような気がします。

私が考えていたのは
「線分Aの長さをAと平行でない線分Bにコピーする」
だったんですが、やはりコンパスがないと無理そうです。

定規に細工するなどの方法で可能にはなりますが、これ以上踏み込むなら新しい出題にしたほうがいいかもしれません。

角の二等分を考えていて、どうやら紙に「点Oとそれを中心とする円」が書かれていれば、ものさしだけですべて問題なくできそうだと思いました。
…が、これ以上は新たにクイズとして出題しようかと思いますので、またの機会にしようと思います。
いはらさん、fyhさん、どうもありがとうございました

角の二等分に関しては、クイズらしく「紙を折って…」というような"逃げ"の解答でしかできそうにない…
fyhさんの「定規に細工する」でも良さそうですね

しばらく様子を見て、本題と派生した問題の解答例を発表していこうと思います。
もし何かあれば遠慮なくコメントをどうぞ
ただ画像クイズが回収された様なので、僕が当初考えていた解答を発表するのが、非常に骨の折れる仕事になりそうです

とりあえず、放置しすぎたので
小出しにしつつ解答を発表しようかと思います。
(1)は(2)に含まれているので省略します。

簡単な方を先にということで…
fyhさん や いはらさん の解答の方針ですが、ヒントにも書いたように「チェバの定理」で証明できる方法です。
ここでは いはらさん の方法を解答例として発表しようと思います。
（なるべく同時に図を書きながら確認していただいた方が分かりやすいと思います）

まず、正方形の頂点をABCDと順に名前をつけておきます。
辺CD上（両端は除く）に点Pを取ります。
　（作図のしやすさを考えると真ん中ぐらいが良いと思います）
直線APと直線BCを引き交点を点Qとします。
次に直線BPと直線ACを引き、交点を点Rとします。
で、直線QRを引いて、辺ABとの交点をSとすれば、点Sは辺ABの中点になります。

[証明]
三角形QABにおいて、チェバの定理を適用します。
チェバの定理より(QP/PA)×(AS/SB)×(BC/CQ)=1.
ABとPCは平行線なので、QP/PA=QC/CBですから、結局AS/SB=1すなわちAS=SBです。
つまり点Sは辺ABの中点です。

辺ABの中点Sが求まりましたので、直線CSと直線DAの交点をA'とします。
このときA'A=ADとなります。
同様に他の辺の中点を求めて、延長線を引いて交点B',C',D'を作図します。
ちょうど風車ができるように正方形の外側に作図すると、正方形A'B'C'D'が求める図形に成ります。

この正方形が五倍の面積を持つことは、三角形A'DD'と正方形ABCDの面積が等しいことから分かります。


僕の解答方法はもう少しお待ちください…
よくよく考えると "運悪く" ではないく、いつでもできるかも…

さらに放置しすぎた…
待ちに待った（誰も待ってない？）解答発表です 　（うぅ、長くなりそうだ〜

-----（以下方法のみ。証明は次です。）-----
目標としては辺の中点を探すことには違いないのですが、実を言うと一発作図ではありません。
正方形の二辺を延長した長方形を探すことを目標とします。
（↓こんな感じです）

ＡーーＤーーーＫ
｜　　｜　　　｜
｜　　｜　　　｜
ＢーーＣーーーＪ

この長方形が作図できると、次に長方形の対角線の交点と正方形の対角線の交点とを直線で結びます。
この直線が辺を二等分するので、辺の中点が求まります。

以下は実際に長方形を作図する方法です。
なお説明が煩雑なので、もし検証していただけるなら図に書きながらやっていただけるとより分かりやすくなると思います。
あと、あれこれ線を引っ張るのでフリーハンドではなくものさしを使っていただいたほうが、より正確になっていいかと思います。

（よしいくぞー

正方形をABCDとします（上のように左上から反時計回りにABCDとふっていきます）。
また正方形の対角線の交点をEとします。
あらかじめ辺BCと辺ADをそれぞれCとDの外側に延長して長方形を書く準備をしておきます。
（これも上のような感じです）
（正方形の右側にたくさんスペースがあるようにしておくと、あとで困らないと思います）

直線を延長する場合は半直線をイメージしやすいように、延長する側を後ろにしています。
（例：直線CDを延長→点Cを基点としてD側にのばしていく）

辺CD上で点Dに近いところに適当に点Pをとります。
（だいたい点Dから三分の一ぐらいのところがいいかと）

ただし点PはCDとは異なる、つまり両端をのぞきます。
直線PEと直線CBを延長し交点を点Fとします。
直線BPと直線FDを延長し交点を点Gとします。

直線BPを延長する途中で直線ADを延長したところと交点ができるのでこれを点Hとします。
また直線PEを延長する途中で辺ABとの交点ができるのでこれを点Iとします。
これらは今使いませんが後で証明に使うため、名前をつけときました。

一方直線APと直線BCを延長して交点Jをとります。
辺ADをDの外側へと延長していき、線分GJとの交点Kをとります。
すると実は四角形ABJKが長方形となります。

あとは対角線を引いて交点Lをとり直線ELを引きます。
これが辺ABと辺CDの二等分線になるので中点が求まります。
あとは（１）の方法ですので省略します。

（ふぅ〜

次に証明です。
作図した方はせっかくなので、横に作図した紙を置いて見ながらぜひご一緒に
証明方法は平行線による相似を五回と合同を一回使いました。
「チェバの定理と平行線の相似で解決！」からしたら、なんと複雑なことか


［証明］
証明すべき事は四角形ABJKが長方形ということです。
ですが、角ABJが直角なので平行四辺形であることが証明できれば十分です。
しかも辺AKと辺BJはもとの正方形の辺を延長したもので平行なのも分かっています。
したがって、あとはAK=BJを言えればいいことになります。
AK=BJなら「向かい合う二辺が平行かつ長さが等しい」ことから平行四辺形であることが導かれます。

あとは正方形の一辺を長さ1とし、DP=tとして平行線による相似なんかをひたすら使いまくるわけです。

（検証は頭の中ではまず無理だと思いますので、ぜひ図を見ながら検証していただけたら幸いです

設定から、分かっている長さは
DP=t
CP=1-t
AD=BC=1

BC‖HDを使って△PBC∽△PHDより
DH=BC*DP/CP
=t/(1-t)

DE=BEやDP‖BIなどから△DEP≡△BEIなのでBI=t

BI‖CPを使って△FBI∽△FCPより
FB:FC=BI:CP
でFB=xとするとFC=FB+BC=1+xゆえ
x:(1+x)=t:(1-t)
x(1-t)=t(1+x)
x(1-2t)=t
x=t/(1-2t)
つまりFB=t/(1-2t)　（注：次のコメント）

DH‖FBを使って△GDH∽△GFBより
GD:GF=DH:FB

DK‖FJを使って△GDK∽△GFJより
DK:FJ=GD:GF

したがって
DK:FJ=DH:FB
なので
DK=FJ*DH/FB

一方でAD‖JCを使って△PAD∽△PJCより
CJ=AD*CP/DP
=1*(1-t)/t
=(1-t)/t

FJ=FB+BC+CJ
=t/(1-2t)+1+(1-t)/t
={t^2+t(1-2t)+(1-t)(1-2t)} / {t(1-2t)}　（通分しただけ）
={t^2+(t-2*t^2)+(1-3t+2*t^2)} / {t(1-2t)}
=(t^2-2t+1)/{t(1-2t)}
=(1-t)^2/{t(1-2t)}

ゆえに
DK=FJ*DH/FB
=(1-t)^2/{t(1-2t)} * {t/(1-t)} / {t/(1-2t)}
=(1-t)/(1-2t) * {(1-2t)/t}
=(1-t)/t
=CJ

したがってAD=BC=1だから
AK=AD+DK=BC+CJ=BJ

これで向かい合う二辺AKとBJが等しい長さであることが言えました。
あとは上に書いた通りです。
「平行四辺形の対角線の交点はそれぞれ対角線を二等分する」
という性質も一応記述しといた方がいいのかな。

［終］
（ほへ〜

（改めて見ると長いな〜細かく書きすぎたかな…

-----（上の証明の注釈および補足その1）-----
上の証明を読んでいてい気付かれた方もいると思いますが、
t=1/2だと実はできない んですよね
これは 点Fが作図できない 、つまりFB=∞となることと対応しています。
なので、初めに点Pを選ぶときに中点を選んじゃうと、
実は作図ができないという落とし穴があるわけです。

＜ところで…＞
これは線分のある一点をピンポイントで狙うことになります。
確率的に言えば限りなく零に近いはずです。（あるいは0に等しい？）
ですので、例えとして
「宝くじが続くかぎり、永遠に宝くじを当て続けるよりも低い確率」
といった次第です。

こうなるのを回避するために
「点Dに近いところに」
というように、任意ではないような点Pの選び方をする必要があったのです。
これを「恣意的」というふうに述べたのでした。

＜実は…＞
これに関しては点Pを適当にとるのではなく、
点Fを先に適当にとることで問題が解消されます。
点Fを先にとれば、直線FEの延長と辺CDとの交点が点Pになります。
この点Pは絶対に中点にはなりません。
こういう風に点を取り直せば、作図は100%できるはずです。
（No.23の模範解答で最後に述べた内容に相当します）


以上が当初僕が考えていた方法でした。
「こんなの思いつくわけね〜」
と思っていたのですが、
「作図できたという事は他にも方法はきっとあるだろう」
という想いもあったので、出題してみたところ…
案の定超超…超チョー〜簡単な方法を皆さんに教えていただいたわけです

というわけで模範解答はいはらさんやfyhさんの方法とさせていただきました。

-----（補足その2）-----
上の証明は結局平行四辺形であることを述べただけですし、
証明に使ったのも平行による相似や合同です。
したがってこれは正方形に限らず、任意の平行四辺形に対してできる作図方法になります。
平行四辺形の場合は平行四辺形の外側に平行四辺形を延ばすような格好になります。

上の証明の方法は一例なので、きっともっと簡単な証明方法がありそうな気がするのですが…
思いつきませんでした

以上、とりあえず本題が完了した…はず…
批判なり批評なり文句なりを受け付けておりますので、ぜひどうぞ
"こんなんできるかー！" とか…

派生した問題に関しては、申し訳ありませんがまたしばらくしてからというで…

さて、残った発展問題の解答を発表してこのスレをロックする方向へ。

残るは

命題(1) 辺のn等分
命題(2) 辺のn倍
命題(3) 任意の点を通る（辺上以外も含め）辺に平行な直線を引く
命題(4) 与えられた任意の線分のn等分やn倍
命題(5) 与えられた直線に垂直な直線を引く
（nは自然数）

これらの他に

補題(3') 辺上およびその延長線上の任意の点を通り、辺に平行な直線を引く
補題(4') 辺上及びその延長線上にある線分のn等分やn倍

も考えます。
ここで発表した解答は一例です。
きっとダイレクトに求めるきれいな方法もあるかと思います。
ポリッシュアップできず、長文になっていてい申し訳ないです
平行四辺形でもできるところまでは、以下平行四辺形ABCDとします。
まずは命題(3)まで。

命題(1)(2) 辺のn等分やn倍
コンセプト：平行線を使う

［作図］
まずものさしを使って辺の二等分を作図できるのがわかりました。
これを使って辺をどんどん二等分していきます。
2→4→8→16→32→…→2^m
nを超えたところで二等分をやめます。
辺CDをこのように分割した場合、点は両端を除いて全部で2^m-1個あります。

例として平行四辺形ABCDの辺ABをn等分したい場合を考えます。
辺CDを2^m等分している点のうち、点Cからn番目を点Xとし、これと点Aを結びます。
直線AXを延長して直線BCとの交点を点Yとします。
あとは点Cから点Xまで(n-1)個の点と、点Yとをそれぞれ結んで延長し、辺ABと交点を(n-1)個作ります。
これらはAB‖CDから辺ABをn等分していることが分かります。

同様に例として辺BCをn倍したい場合。
点Dから(n-1)番目を点X'とし、これと点Aを結びます。
直線AX'を延長して直線BCとの交点を点Y'とします。
AD‖BCから相似の関係を使ってCY'=(n-1)AD=(n-1)BCがわかります。
つまりBY'=nBCと辺BCのn倍をとれたことがわかります。
［終］

次に補題(3')とそれを用いて命題(3)です。

補題(3') 辺上及びその延長線上の任意の点を通り、辺に平行な直線を引く
コンセプト：平行四辺形をつくる

［作図］
直線BC上の任意の点を点Pとします。
点PがBやCと一致する場合は自明なので、点Pは二点BCとは異なるとします。
点Pと点Aを結ぶ。
辺ABや辺CDは二等分できるので、その中点同士を通る直線を引きます。
この直線は辺AD、辺BCと平行になります。
この直線と線分APとの交点を点Qとすると、点Qは平行線による相似の関係から線分APの中点になります。
直線ADと直線BQの交点を点Rとすると、点Qが線分BRの中点になる。
すると対角線BRとAPが中点で交わるので、四角形ABPRは平行四辺形となる。
すなわち点Pを通り、辺ABに平行な直線PRが引けたことになる。
［終］

命題(3')がわかったので、次に(3)を考えます。

命題(3) 任意の点を通る（線上以外も含め）辺に平行な直線を引く
コンセプト：この点が一つの辺上にある平行四辺形をつくる

［作図］
辺上であれば補題(3')のままなので辺上にない場合を考える。
任意の点を点Pとする。
点Pを通り直線BCに平行な直線を引く場合を考えます。
直線ABと直線辺BCに交点を持つように適当に点Pを通る直線を引く。
直線AB上の交点をX、直線BC上の交点をYとする。
補題(3')から、点Xを通り直線BCに平行、および点Yを通り直線ABに平行な直線を、それぞれ引ける。
この交点を点Zとする。
すると四角形XBYZが平行四辺形。
点Pは対角線XY上にある。

平行四辺形XBYZの辺XBの中点を点Qとし、直線YQと直線ZXとの交点を点Rとする。
こうすると、四角形RBYXも平行四辺形で点Pは直線XY上である。
ここでもう一度補題(3')を使用して、点Pを通り辺BYすなわち辺BCに平行な直線が引ける。

辺ABつまり、辺XBに平行な直線を引きたい場合は、四角形XBYZの辺BYの中点Q'をとって、同様に平行四辺形XBR'Yを作るとよい。
［終］

次は命題(4)です。
そのために次の補題(4')を考えます。

補題(4') 辺上及びその延長線上にある線分のn等分やn倍
コンセプト：やっぱり平行四辺形を作る

［作図］
線分の両端を点X点Yとする。
(3')から、点XYを通る辺に平行な線を引く。
線分XYは辺あるいはその延長線上なので、線分XYに平行な線も引ける。
こうして線分XYを一辺に持つような平行四辺形は作図できる。
したがって(1)(2)から平行四辺形の一辺である線分XYをn等分したりn倍したりできる。
［終］

命題(4) 与えられた任意の線分のn等分やn倍
コンセプト：平行線によってn等分などを写す

［作図］
まず前段階として…
線分の両端を点X、点Yとする。
線分XYが辺ABや辺BCのどちらかと平行のように見える場合。
例えば辺ABと辺XYが平行のように見えるとき。
このとき(3)から点Xと点Yを通り、辺BCと平行な直線を引いてそれぞれ交点X'、Y'を作図できる。
こうして直線AB上に線分X'Y'をとる。
逆ならば直線BC上に線分X'Y'をとる。
中間でどちらとも平行そうでなければどちらでもよい。
（要は、平行線を下ろしたら幅が細くなっちゃった、なんてことのないように、選んで直線を引くということです）

例えば直線AB上に線分X'Y'をとった場合。
補題(4')より線分X'Y'をn等分、n倍できる。
そうして得られた点の集まりを、(3')を用いて平行線を引いて、再び直線XY上に写しなおす。
これらの点が線分XYのn等分あるいはn倍の点である。
［終］

以上までは平行四辺形で成り立つ、つまり平行四辺形でも作図可能。
命題(5)は残念ながら正方形でないと作図できません。

命題(5) 与えられた直線に垂直な直線を引く

まず模範解答として fyhさん の方法を採用させていただきます。
fyhさんの方法は大変わかりやすく、三角形の垂心の性質を使うものです。

［作図］
対角線を延長しておき、正方形ABCDのうち、三角形BCDの部分を使います。
BCの延長、BDの延長と、任意の直線XYで三角形を作ります。
BCは辺で、これに垂直な線、すなわち辺CDに平行な直線は引けます。
BDは対角線で、これに垂直な線、すなわち対角線ACに平行な直は引けます。
これらを利用して垂心Hを求めると、直線BHは直線XYと垂直です。
［終］

次に僕が考えていた方法です。

コンセプト：長さを写しとる

これをするために、次に二つの補題を考えます。

補題(5') 直線BC上にある線分XYと同じ長さを、直線BC上の別の任意の場所へ写す
補題(5'') 同じくBC上にある線分XYと同じ長さを直線AB上のどこかに写す

［作図］
まず(5')から。
写したい点の片方を点Pとします。
まず点Pを頂点に持つ平行四辺形ABPQが(3')から作図できる。
線分QXを引きます。
平行四辺形ABPQの辺ABと辺PQの二等分線を使うと、線分QXも二等分できます。
この中点を点Mとします。
直線YMと直線AQの交点を点Rとする。
点Mは線分YRの中点でもあり、四角形RXYQは平行四辺形で、RQ=XY。
(3')より点Rを通り、辺PQに平行な直線を引いて、交点をZとする。
すると、四角形RZPQは平行四辺形でRQ=ZP。
これで、線分を任意の場所に移動できました。
（これは実は平行四辺形で可能）
この場合、点Y→点Pとなるような感じで移動しています。
点X→点Pとしたいときは下線部のQXをQYとすればいいと思います。

次に(5'')。
（ここからは正方形のみ成り立つ）
(5')を使って点Xと点Bを一致させます。
(3')から辺BYを一辺に持つ長方形ABYZを作図する。
直線YZと正方形の対角線BDとの交点をWとする。
すると対角線は45°の傾きなので、BY=YWである。
点Wを通り、辺BYに平行な直線を引いて直線ABとの交点を点Qとする。
すると四角形QBYWは正方形でQB=BY=XY。
こうして直線BC上の線分XYを直線AB上の長さが等しい線分QBへと写せた。
［終］

以上二つの補題(5')(5'')を使って命題(5)を考えます。

［作図］
正方形ABCDと、対角線方向に一辺に持つような正方形の二種類、正方形がある。
したがって、任意の直線に対して、必ず辺とのなす角が0°より大きく45°以下になるように
適当な正方形をどちらか選べる。
（こう書いたのは、辺と垂直だった場合を考慮したためです）
どちらかを選んだとして、その正方形をABCDと命名し、直線AB、直線BCとの交点をそれぞれ点X、点Yとする。
(5')(5'')を使って、線分BXを、直線BC上の点Yを端点とする線分YX'へと写すことができる。
点X'と点Bが点Cについて逆側になるようにとる。
その端点X'からABに平行な直線を引く。
線分BYを、この直線上で点X'を端点とする線分X'Zに写す。
点Zと点Xが直線BCに対して同じ側になるようにとる。
こうすると、XYZが垂直である。
［終］

以上が派生した問題の作図方法の一例でした。

垂直な直線を引くのに正方形でないとできないのは、おそらく「長さ」という情報が直角方向に写し取れないとできないからでしょう。
また角の二等分線については、いはらさんの解答により、不可能という結論に達しました。
残念ですが、このあたりが「ものさし＋正方形」の限界なのでしょう
同様の理由より、特殊な場合を除いて、ものさしでは他に√n倍などの無理数倍も不可能そうですね。

これで一応このスレもロックに向かえると思います。
もうしばらく開放しておきますので、なにかあればどうぞ

それではロックいたします。
皆さん、ご参加ありがとうございました

…新機能使えば良かったかな