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 マオークエスト 第五章
難易度：★★★★
 いはら
ダッツ少年はとある遺跡の中をさまよっています。
第一戦 ある部屋の中央まで進んだとき、三体の怨霊が現れました！ 怨霊1は西に15m、怨霊2は東に15m、怨霊3は北に20mの地点にいます。 怨霊1は東に5mの地点を中心とした半径20mの円周上のみ移動できます。 怨霊2は西に5mの地点を中心とした半径20mの円周上のみ移動できます。 怨霊3は東西にしか移動しません。 (ダッツ少年を基準として位置を書いています) どの怨霊もダッツ少年との距離を最短にするように秒速2mで移動します。 距離を縮められない場合は動きません。 ダッツ少年は最大秒速1mで移動できます。 北に30mの地点にある出口にたどり着くためにはどうすればよいでしょうか。 出口に行けさえすれば怨霊を倒す必要はありません。 (複数の怨霊を同一地点に誘導すると怨霊達は同士討ちし、瞬時に消滅します) 怨霊と接触すると殺されます  第ニ戦 また別の部屋でニ体の怨霊が現れました。 怨霊1は西に15m、怨霊2は東に15mの地点にいます。 怨霊1は東に5mの地点を中心とした半径20mの円周上を動きます。 怨霊2は西に5mの地点を中心とした半径20mの円周上を動きます。 怨霊を全滅させて下さい。 その他の条件は前問と同じです。 第三戦 またまた別の部屋で三体の怨霊が現れました。 怨霊1は西に15m、怨霊2は東に15m、怨霊3は北に約19mの地点にいます。 怨霊1は東に5mの地点を中心とした半径20mの円周上を動きます。 怨霊2は西に5mの地点を中心とした半径20mの円周上を動きます。 怨霊3はその2つの円の交点の一つにおり、東西にしか動きません。 出口には封印がかかっており、この部屋の怨霊を全滅させると解除することができます。 封印を解いて部屋を出るにはどうすればよいでしょうか。 その他の条件は前問と同じです。 --- 答えはNo.16以降をご覧下さい。 第一戦、第二戦の答えはNo.22にあります。
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回答募集は終了しました。
いはら
位置関係が分かりにくいようですので、補足します。
少年の位置を原点、東西をX軸、南北をY軸とすると、 すべてのケースにおいて、 怨霊1は(-15,0)、怨霊2は(15,0)に出現。 怨霊1は(5,0)を中心とした半径20の円上を動きます。 怨霊2は(-5,0)を中心とした半径20の円上を動きます。 第一戦では怨霊3は(0,20)に出現。 第三戦では怨霊3は(0,√375)に出現。 となります。 ご確認下さい 
いはら
参戦ありがとうございます。
第一戦、第二戦は完璧です! 第三戦は確かに微妙ですね。 この囁きではダッツ少年はどう動いていいか分かりませんので、 具体的な指示をお願いします。 (自分もこの方法でできるだろうとは思いましたが、 具体的な手順はものすごく複雑になりそうなので断念しました) ヒミツ
一応考え方を囁いておきます。
確かに微妙すぎますので現実的には困難でしょう。  ＞(自分もこの方法でできるだろうとは思いましたが、 具体的な手順はものすごく複雑になりそうなので断念しました) と言うことは他の方法があるわけですね。ゆっくり考えてみます。
いはら
任意の正の数εに対して、ジグザクに動く回数を十分に大きくすれば、
ある地点からの怨霊の距離<εというようにできそうですね 有限回でぴったり誘導することがはたしてできるのでしょうか。 この方法でも具体的な座標の指定をしていただければ正解にします。 ダッツ少年にも理解、実行できるような明快な手順があります 
いはら
果敢な挑戦ありがとうございます
②から④の間、怨霊1が2m/sで移動してくれればうまくいくと思いますが、 ②の位置によっては移動速度が落ちてしまいますね。 具体的に位置を決めてうまくいくことを示すのは面倒そうです。 だんだん現実的になってきましたので、もう一息だと思います
いはら
第一戦完勝です!
第一戦でこんな動きを思いつくとはびっくりです  ものすごい先見の明がありますね 金メダルは第三戦勝利後に・・・
いはら
自分の考えた第三戦の動きにかなり近いです
ですが、3の移動がよく分かりません。 書いてあるとおりの動きだと、 最終的に(√175,0)に行くのは不可能な気がするのですが・・・
いはら
確かにうまくいかないみたいですね。
ですが、動きとしてはかなり(私の考えた)正解に近いです。 2のところは全く同じです 少し変更すればうまくいく筈です！
いはら
貴重な時間を割いていただいてありがとうございます
同士討ちにどれくらい時間がかかるのか、 同士討ちを始めた怨霊は移動しないのかが、 問題文に書いてありませんので、この手順を実行するのは危険ですね。 うまくいくかも知れませんが、命を賭けるのはちょっと・・・ ということで、三体同時の手順のみを正解とさせていただきます。 (条件は追記しておきます） 今回の手順ですが、 1,2,3はいらない気がします。 もしかすると、同一手順にするために必要なのでしょうか？ 第三戦ができれば、第一戦、第二戦は簡単ですので、 第三戦の手順のみ書いていただければ全問正解とします。 5はそこで止まらずもう少し進めば、 (0,√375)から怨霊1,2までの距離が等しくなるはずです。 後は・・・簡単ですね 
1.(-5,0)より少し東に移動し、怨霊達が止まるまで待つ。
このとき怨霊1,2は(-25,0),(-15,0)に移動する。 2.(-5,0)に移動。 3.(5,0)を中心とする半径10の円上を(5,10)まで移動。 このとき怨霊1,2は(-5,25),(5,25)に移動。 4.3の円上を移動し(0,√75)まで戻る。 これで怨霊は全滅！
正解者が出ないので、仕方なく登場しました
いはら
これが用意した答えだったのですが、これでは駄目ですね。
(しかも1.は東ではなく西ですね) 正解者が出ないのでおかしいな～と思い、検証し直したところ、 勘違いに気づきました 4.の移動の途中で怨霊1,2が同士討ちしてしまい、怨霊3が残ってしまいます  怨霊1,2をあの地点で同士討ちさせることだけを考えて失敗してしまいました。 いいかげんなヒントを出して申し訳ありませんでした。 別の方法を考えましたので、投稿しておきます。
うまくいく方法を考えましたので、白文字で書いておきます。
本当にうまくいくのか、検証お願いします  (ＳＨＩＳＨＩ１さんの最初の考え方に近いものになりました) 1.(-10,0)に移動し、怨霊達が止まるまで待つ。 このとき怨霊1,2は(-25,0),(-15,0)に移動。 2.(-5,0)を中心とする半径5の円上を反時計回りに一周する。 (時計回りに回ると怨霊1,3が接触してしまう) この円は怨霊1の円と中心が同じで半径が1/4なので、 少年の角速度は怨霊1の2倍。 よって一周後怨霊1は(15,0)に移動している。 怨霊2は(-15,0)に移動。 3.(5,0)を中心とする半径10の円上を(0,√75)まで移動。 この時点で、怨霊1,2は(-5,√300),(5,√300)、 怨霊3は(0,√375)に移動している。 しばらく待っていると怨霊1,2は同時に(0,√375)に来るので全滅する。 ヒミツ
この問題あれからも時間のあるときに考えていたのですがものすごく難しいですね。
その後の検討から>4で囁いた方法もＮＧであるとの結論に達しました。 白文字で書かれている方法ですが、 +-がはっきりしませんが(東が+でしょうか？）2.の移動方法では2.に書かれて いる地点には怨霊は来ないと思います。（しかし2.の最後の地点は最初の地点では？） ここから3.の最初の３行に書かれたものは問題ありませんが、その後そこで待って いても怨霊はその地点から動かないのでは無いでしょうか？ と思います。一度御確認下さい。
ドッペルさんのカミングアウトを見て一安心しちゃいました
 反転文字の手順についてなんですが、 3.のダッツ少年が(0,√75)まで移動した時点で、怨霊1,2が(-5,√300),(5,√300)に来る。 ここまでは良いですが、少年が(0,√75)に止まった時点で怨霊から少年までの最短ポイントも それぞれ(-5,√300),(5,√300)になりますので、怨霊もそこに止まったままになるはずです。 そこよりX軸側に怨霊が移動してくれる事は無いと思います。 それで辿り着いたのが前回の手順だったのですが･･･たしかに手順1～3は要らないようですね  ↑書いてる間にSHISHI1さんとおもいっきりかぶったコメントしちゃいましたね 試行錯誤した結果ですが、怨霊を２体とも原点から見て外回りに誘導できない限り３体同時は 不可能なのではないでしょうか？そして恐らくこれを実現できる手順は無いのではないかなと。
＞魚松さん 白文字で書かれている内容について
仰るとおり内回りでは3体同時に(0,√375)に導く事は出来ないと思います。 これは怨霊3の動線の関係でY軸上にいなければなりませんが、怨霊1,2の動線が 内回りの時にはx<√375の時には怨霊1,2の移動目的点のY軸の値は<√375となる ので怨霊は(0,√375)迄行く事は有りません。 そしてx>√375の時には怨霊1,2の移動目的点のY軸の値は<√375となるのですが、 怨霊3がいるのでx>√375に行く事は出来ません。よって内回りでは不可能です。 外回りの時には怨霊1,2を(25,0)、（-25,0）に来させて同時に出発させれば出来る はずなのですがその方法は？です。 と思います。如何でしょうか？ ＞いはらさん この問題当初用意された回答が不十分だった様ですし、出来るか否か 非常に微妙なのではないかと思います。 そこで提案なのですが、第三戦部分の各人の考え方などを公開して（第一戦、二戦が 有りますので囁きを公開する必要は有りませんがコメントをコピペするなどで） いただき皆で考え答えを探って行きませんか？（三人寄ればなんとやらと言いますし） 正直言って私は完全に壁にぶち当たっています。
いはら
ＳＨＩＳＨＩ１さん、ご提案ありがとうございます
 重ね重ねの不手際申し訳ありませんでした。 一応解答は頭の中ではできています。 前回はその検証中に、こうした方が簡単にできる！と何故かひらめいてしまって、 変更したところ駄目になってしまいました。 また間違っていると顰蹙ものですので、 土日でしっかり検証して月曜に発表したいと思います。 出題者として責任を持って解決します！ (もし駄目だったときはお力をお貸し下さい ）
SHISHI1さん、そのとおりだと思いますよ。
ただ、怨霊1,2の位置は(25,0)，(-25,0)でなくてもよいのではないかと考えた結果、 今回新たに考えた手順なら今度こそいけるかもという気がしていますが・・・ まぁとりあえず月曜日のいはらさん待ってみることにします しかしどうも数学座標系に馴染めず、書き込み時に混乱してしまうんですよね  問題３だけ囁いてみます。
平面座標を導入して、xの正の方向を東、yの正の方向を北にします。 怨霊1は(-15,0)、怨霊2は(15,0)、怨霊3は(0,sqrt(375))です。sqrt=平方根のことです。 1. まずダッツ少年は(0,0)から(-5,0)まで進んで、南の方向から西に30度の方向に少し進んで待ちます。 すると怨霊2は(-5+20cos(4pi/3),-20cos(4pi/3))=(-15,-10*sqrt(3))で止まります。 2. およそ北東の方向に進んで(-5,0)に戻ります。怨霊1は(-15,0)の位置に、怨霊2は先ほどと同じ位置にいます。 3. (0,0)を中心とする半径5mの円周上を(0,5)を通るようにして(5,0)まで（時計回り）、速さ1m/sで進みます。このとき、ダッツ少年の(0,0)周りの角速度の大きさは1/5[rad/s]です。 細かい証明を省きますが、怨霊1がダッツ少年と距離を最短にしようと円周上を動くと(5,0)周りを角速度の大きさ1/10[rad/s]で移動することがわかります。 したがって、ダッツ少年が(5,0)まで来たとき、怨霊1は(5,20)にいます。 またダッツ少年が(0,5)を通るとき、怨霊1は(5-10*sqrt(2),10*sqrt(2))なので、怨霊3とは接触しません。 この動きのあいだ、怨霊2がダッツ少年と最も近くなるのは、絶えず時計回りに進んで5pi/6[rad]の点なので、怨霊2は角速度の大きさが1/10[rad/s]で時計回りに進む。どれだけ進むかというと、pi/2=90度進む。 このとき怨霊2は(-5+20cos(5pi/6),20sin(5pi/6))=(-5-10sqrt(3),10)にいる。 4. 3の動きのあと、(5,0)につくとすぐにダッツ少年は(5,0)からみて北の方向から東に30度の方向に少しだけ進みます。（(5,0)から移動した距離は10mよりもずっと近い位置だとします） 怨霊1は(5+20cos(pi/3),20sin(pi/3))=(15,10sqrt(3))に向かって角速度の大きさ1/10[rad/s]で進みます。 このとき、怨霊2は相変わらず角速度の大きさ1/10[rad/s]で時計回りに進んでいます。 しばらく待つと、怨霊1が(15,10sqrt(3))に到達します。角度で言うとpi/6回ったことになります。 このとき怨霊2は同じ角度、pi/6だけ時計回りに回ったはずだからこのとき、(-5+20cos(2pi/3),20sin(2pi/3))=(-15,10sqrt(3))に到達している。 5. ダッツ少年は、(5,0)よりも北から見て東に30度方向にいる。怨霊1が(15,10sqrt(3))に到達すると、すぐに今度はx=0を目指して西に1[m/s]の速さでまっすぐ進む。 ダッツ少年がいる位置を(5,0)から距離rだとすると、4の動作で書いたようにr<<10[m]です。 するとx=0までの距離は5+r*cos(pi/3)=5+r/2[m]です。 ここからx=0に向かって移動すると、rが十分小さいので、怨霊1にとってはダッツ少年は角速度の大きさが1/10よりも遥かに速い移動になるため、怨霊1は円周上を反時計回りに角速度の大きさ1/10[rad]で進みます。 この間も、怨霊2は相変わらず角速度の大きさ1/10[rad]で時計回りに進んでいます。 ダッツ少年がx=0に着くまでにかかる時間は5秒とほんのちょっとの時間です（具体的には5+r/2[s]です）。 一方、怨霊1(15,10sqrt(3))、怨霊2(-15,10sqrt(3))の位置から(0,sqrt(375)までの距離は15[m]よりも大きく、怨霊たちはさらに円周上の移動なので15/2=7.5[s]よりも長い時間がかかります。 なので、rが十分小さければダッツ少年がx=0に到達する方が早いはずです。 一方怨霊3はダッツ少年と同様にx=0に向かってまっすぐ西に移動するが、2[m/s]とダッツ少年よりも速いから、移動する速度としてはダッツ少年と同じで、(0,sqrt(375))に着く時間はダッツ少年と同じです。 あとは、ダッツ少年が待っていると、円周上の移動をしてきた怨霊1と怨霊2が同時に(0,sqrt(375))に着くので、同士討ちによって怨霊三体が消滅します。 いかがでしょうか？
しばらくマオークエストに参加していませんでした。
RPGの、レベルがかけ離れて置いてけぼり、の気分になったり 追記（6/11） 返信していませんでしたが、公開の件了解しました 
いはら
ご参加ありがとうございます
後ほど検証させていただきます。 ------------------------------ 検証しました。 これでうまくいくと思います。 方針は全く同じですね。 怨霊の折り返し地点まで一致しているのでびっくりしました ボムボムさんの解答の方が移動方法はシンプルですね。 先を越されちゃいましたね 一時はどうなることかと思いましたが、これで話を進められます。 ありがとうございました ※後でこの回答は公開させていただきます(6/2) ---------------------------------------------------- 公開の了解は得られたと思いますので、公開します(6/4)
ボムボムさんの回答の検証は後ほどすることにして、
まずは私の考えた第三戦の手順を発表します。 少年の最初の位置を原点Oとし、東西をX軸、南北をY軸とします。 (東、北を正の方向とします) 怨霊1,2,3はそれぞれ(-15,0),(15,0),(0,5√15)に出現。 怨霊1は中心(5,0),半径20の円上を移動、 怨霊2は中心(-5,0),半径20の円上を移動します。 怨霊1の動く円の中心(5,0)をP1,怨霊2の動く円の中心(-5,0)をP2とします。 P1を中心とする半径5の円を円1,P2を中心とする半径5√3の円を円2とします。 円2とX軸との交点の一つ(-5-5√3,0)をA, 円1と円2の交点の一つ(5/2,5√3 /2)をB, 円1上の点でBと同じY座標の点(15/2,5√3 /2)をCとします。 △BOP1と△BP1Cは合同な正三角形で、∠BP2O=30度となっています。 具体的な移動の手順は、 1.Aに移動し、怨霊達の動きが止まるまで待つ 2.円2上を時計回りに3周してから、時計回りにBまで移動 3.怨霊2が(-25,0)に来るまで待つ 4.円1上を時計回りにCまで移動 5.Bを中心とする半径5の円上を時計回りにP1まで移動 6.原点Oに直行 7.しばらく待つと怨霊達は全滅します 解説 2.の移動で、 少年はP2の回りを(360*3+150)=1230度回転することになります。 少年の移動する円の半径は5√3,怨霊2の移動する円は半径20, 怨霊は少年の2倍の早さで移動するので、怨霊2の回転角度は、 1230*5√3 /20*2=1065.211･･･ 1230度との差は約165度で、確実に150度から180度の間になりますので、 2の移動が完了した時点で、 怨霊2はP2から見てBの反対側、直線P2Bの上側、X軸の下側にいることになります。 このとき怨霊1は半直線P1B上の点(-5,10√3)に来ています。 この間、怨霊1は怨霊2,3の動線と接触することはありません。 また、怨霊2と怨霊3が接触することもありません。 少年がAからY軸の交点まで最初に移動したときに1mほどに接近しますが、接触はしません。 Bで待っている間、怨霊1は動きません。 怨霊2が(-25,0)に来た時点で、 怨霊1とその回転中心,怨霊2とその回転中心を結ぶ線のなす角は60度になります。 怨霊1,2が同じ速さで回転をすると、この角度は保たれます。 少年がBからCへ移動すると、P1の回りに60度回転したことになります。 少年が移動した円は半径5,怨霊は半径20の円上を2倍の早さで移動しますので、 怨霊の回転角度は、60*5/20*2=30度となります。 CからP1への移動距離はBからCへの移動距離に等しいので、 CからP1へ移動する間に怨霊はさらに30度回転します。 よって少年がP1に到達した時点で、 怨霊1は半直線P1C上の点(15,10√3)に来ており、 怨霊2はY軸について対称な点(-15,10√3)に来ています。 少年が原点に移動すると、怨霊1は反時計回りに、怨霊2は時計回りに Y軸に近づく方向へと移動します。 この移動開始時に怨霊1は(15,10√3)におり、 この点からY軸までの最短距離は15mですので、 怨霊1がY軸に到達するためには15m以上移動する必要があります。 少年の原点までの移動距離は5mでその半分以下ですので、 少年の方が先に原点に到着します。 少年が原点に着いた時点で怨霊3は(0,5√15)に来ます。 この時点まで、怨霊同士、少年と怨霊が接触することはありません。 しばらく待っていると怨霊1,2が怨霊3の位置まで同時に来ますので、全滅します。 なるべく高等数学を使わず、動きが単純になるように構成しました。 ご検証お願いします。 1.(-5,0）に移動
この時怨霊1は(-15,0)、2は(15,0) 2.(5,0)を中心とした、R10mの円を描くように(8.624,-9.32)に移動 この時怨霊1は(12.247,-18.641)、2は(11.507,-11.293) 3.(5,0)まで直線に戻る この時怨霊1は動かず、2は(15,0) 4.原点を中心とした、R5mの円を反時計回りに半周し(-5,0)に移動 この時怨霊1は(23.641,7.247)、2は(-5,20) 5.(-6,0)に移動し、5秒待つ。 この時怨霊1は(22.824,9.072)、2は(-6.997,19.9) 5秒後怨霊1は(16.293,16.507)、2は(-16.293,16.507) 6.直線で原点に戻る。 原点到着後から2秒過ぎに3体同時に接触。 要するに、逆算で(0,√375)から怨霊2の移動線上にある(-5,20)までの弧長が、5.054。怨霊1の位置もこの弧長に+αした位置(今回は+24で29.054)に来るよう移動周期をずらしてしまおうという作戦です。
おぉ、その動きなら恐らくいけると思います
では私の手順も囁いておきます。計算が細かいですけど伝わるかな ↑あ、書き忘れ。手順2は反時計回りです。
いはら
考え方は同じですね
細かい数値までは確認していませんが、恐らくうまくいくでしょう。 思ったより難しい問題でしたが、解決してよかったです。 (難易度の★を一つ増やしておきます) 長らくお付き合いいただき、ありがとうございました。 この解答も後ほど公開させていただきます(6/3) それでは公開します(6/6)
>17 確かにうまく行きますね。
ただ私の勘違いで（>>4の回答から） ”怨霊が～に来た瞬間”とか”怨霊のＵターンはスピードが落ちる可能性がある” と思っていましたのである定位置からのスタートとばかり思い込んでいました。 細かい座標は別に致しまして同種の操作で出来る可能性は多々有るみたいですね。 （例えば1.2の変化バージョンなど）
いはら
ご検証ありがとうございました。
また、長い間取り組んでいただきありがとうございました 誤解を招く表現で申し訳ありませんでした。言葉が足りませんでしたね。 確かにうまくいく手順は無数にありますね。 単純明快で、うまくいくことが簡単に示せる手順があるといいのですが。
いはら
改良ありがとうございます
そこは唯一気に入らない部分でした。 怨霊が特定の地点に来たことをどうやって判断するのか、 というツッコミがあるかも知れないと思っていました。 事前に何か目印となるものを置いておいて、 その目印と怨霊が重なって見えたら到達したと判断する、 という答えを用意してはいましたが。 これですっきりしました。 これも後ほど公開させていただきます(6/4) 公開します(6/6) ヒミツ
第一戦と第二戦のみです。
第三戦、いろいろごちゃごちゃと考えたのですが、やはりＳＨＩＳＨＩ１さん以上の答えは 見つかりそうもありませんね。 どうにか、直線移動だけでできないかと思って色々考えたのですが、 結局、「怨霊がある特定の点に移動するまで待つ」部分が必要になってしまい、 綺麗な答えにはなりそうにないですし。。 皆様の回答を拝見して勉強させていただきました。 
いはら
第一戦、第二戦ともに正解です！
第三戦は、微積を使えばもっとシンプルな移動でできるだろうとは思いますが、 クイズ、パズルの範疇を超えてしまうのでやめておきました。
第一戦
ダッツは東に5m、北に1mの地点までまっすぐに移動した。 しばらく待っていると怨霊1と怨霊3が同士討ちをした！ その後、そこから西に10m、南に2mの地点までまっすぐに移動した。 (最初の位置から西に5m、南に1mの地点) 怨霊2が真南にやってきた瞬間、北に向かって全速力で走り、怨霊を振り切った！ 第二戦 ダッツの最初の位置の西に5mの地点をA、東に5mの地点をBとする。 ダッツはAに移動し、Aから怨霊達の移動する円の交点(北の方)を目指して真っ直ぐに10m進んだ。 この地点をPとする。 Aから10mの距離を保ったまま、時計回りにBまで移動した。 東に一歩踏み出し、怨霊達が止まるのを待ってからBに戻った。 この時点で怨霊達はダッツの東に10mの地点と20mの地点にいた。 Aから10mの距離を保ったまま反時計回りにPまで移動した。 この時点で怨霊の一体はAPの延長上に移動して動きを止めた。 しばらく待っているともう一体の怨霊がその地点にやってきて同士討ちした！ --- 第三戦にくらべたら楽勝ですね。 しかし第三戦があんなに難しいとは思いませんでした。 近日中にロックします！ |
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