12C2ととり、66通り。それが、３グループあるので、66×3＝198
結局、１２マスの３グループに分かれると思ったので、上記のような計算、答え
となりましたが・・・。とりあえず、１９８通りで。ちょと、多いかな・・・。

問題文の取り方で変わると思いますが、塗る色は1色のみで考えました。
ポイントは異なる2列が塗りつぶされている場合、12箇所目は残りのどこでもよい　と言うところでしょうか。

1)マスがある板が固定されていて、上下左右の区別がつく場合
(6C2×2+1)+(6×6×25)+((12×25)×2)=1531通り

2)マスがある板が固定されておらず、上下左右の区別がつかない場合
(5+3+1+1)+((5×25)+(3×25)+(1×25))+(6×25)=385通り

3)マスがある板が透明で固定されておらず、上下左右裏表の区別がつかない場合
(5+3+1+1)+((3×25)+(2×25)+(1×25))+(3×25)=235通り


もし、塗る色が12色別だと12!倍になるかと思います。
さらに、塗る色が12色未満の複数色で透明な固定されていない板だと、非常に複雑になりますね