簡潔に説明するのは難しい問題ですね。

ここで解答を公開しておきます。
ロックは今日の夜にでも行います。

[解答]

ある多面体が存在するためには、
　1).一つの点に接する面は少なくとも３つ以上必要
　　→そうでないと立体にならない
　2).一つの点の周りの角の合計角度は360°未満
　　→そうでないと展開図が作れない
の二つの条件を満たす必要があります。

そのため、正多面体が存在するには
（一つの角の角度）×（一つの点に集まる角の数）＜360
を満たさなければなりません。
この条件を満たすことができるのは、
　60×3＝180＜360　……　正四面体（正三角形×３）
　90×3＝270＜360　……　正六面体（正方形×３）
　60×4＝240＜360　……　正八面体（正三角形×４）
　108×3＝324＜360　……　正十二面体（正五角形×３）
　60×5＝300＜360　……　正二十面体（正三角形×５）
の五つだけであるため、この他の正多面体は存在しないと言えます。