明日から10日ほど留守にするため、
議論して楽しんでいただける問題を考えてみました。

完全な回答でなくても全然ＯＫですので、
どんどんコメントを残していただければ嬉しく思います。

皆さまの回答を楽しみにしております （出題者）

（-ω-）゜。では単純に
XYは実は点の集合体でABはXYを拡大させただけのものだから

もともとどっちも点が１つも無いというのはどうでしょうか？

それぞれの線は点AB=2 点XY=2 によって構成されているから同じ数といえる。
携帯電話は反転文字が見れないので、あしからず。

折ると点ができます。両方とも同じ回数、折れば同じ数、点ができます。それは、幾らやっても同じ。ゆえに、同じ数存在している。・・・と、思ったのですが。
最初はかまさんと同じ事を考えたのですが、もう少し深入りしてみました。
おねがいします。

もうｗｏｗｋａさんのは深入りできそうにありませんね

新しい方法を考えました
ＡとＹ・ＢとＸを直線でつないで、
その交わったところを点Ｐとでもしておいて、
線ＡＢのどこかに点Ｑをつくって、
点Ｑから点Ｐの向きに直線をひいていくと、
線ＸＹのどこかについて、そこに新たな点ができるから。
というのはどうでしょう？

　

ちょと、ドーモさんに対抗。
新しい方法を考えました。

線分ＡＢを基にした正方形を描きます。その中心と重なるように線分ＸＹを基にした正方形を描きます。その四角形の中心点から線分ＡＢ、ＸＹに向かって線を引くと全て点として交差します。以上です。

な、なるほど〜〜

ドーモさんが納得されていることにやや、驚きです。
反論があるのかと、構えていたところでしたが・・・。
いや、ヒントを見るとドーモさんの考え方が正道な感じで・・。
ところで、ＰｉｋｏＰｉｋｏさんはどうしたんでしょう？

「無限」という言葉を使わないとしても
「無限」という概念がないと説明できないのではないかな？

図の上で何本線を引こうが
子供なら絶対こう言う
「ＸＹの上はもうぎゅうぎゅうだけど
　ＡＢの上はまだすかすかだよ。
　このままいくといつかＸＹの上に新しい線が
　書けなくなるよね
　やっぱりＡＢの点のほうが多いよ」

永久駆動さんの意見を受けて思ったこと。

"線分"には"太さ"という概念が無い。

この定義がインストールされていない子供に
pikopikoさんの説明方法は通用しませんね

"ピンホールカメラの原理"
と同じだと考えれば
面白い着眼点ではありますね。

永久駆動さんの仰るように「無限」という概念がないと説明できないのではないかと思います。

線分XY上に適当に点Zをとります。
これまでの説明でいくと線分AB上の点の数と線分XZ上の点の数は同じです。
同様に線分AB上の点の数と線分ZY上の点の数は同じです。
とういうことは線分XY上の点の数は線分ABの上の点の数の2倍です。
????????

これは無限は何倍しても無限だという概念がないと理解不能です。

というわけで、旅から帰って参りました出題者です。

個人的には、紙を折るという発想が好きだなぁと思いつつ、
最後には思いきり突っ込まれたりして、いやはやどうも

おませな小学生・中学生を不思議がらせることができれば、
まずはどれも正解ということになりそうです