ない。
証明。ひとつのコインについて初めの表の状態を「0」裏返す事象を「+1」とする。奇数の場合は裏、偶数の場合は表ということになる。最初は全部表なので11枚の合計は0、偶数である。6枚裏返すと合計は6、もう一度裏返すと合計は12となり、何回繰り返しても合計は偶数である。全てが裏の場合は合計は奇数×11であり、奇数である。すなわち何度裏返してもすべてが裏になることはない。

最初は６枚を裏にするしかない。
表５、裏６
ここから
表６、裏５
にできればいいわけですが、
毎回６枚ずつひっくり返さなければならないので
ひっくり返す表の枚数と裏の枚数は
（０，６）（１，５）（２，４）（３，３）（４，２）（５，１）（６，０）
の７通り
表５裏６から表６裏５にするためには少なくともどこかの操作で奇数枚差で枚数を入れ替える必要がある。しかし、上の７通りを考えたとき、すべて偶数枚または０枚の移動なのでこの事象は起こりえない。・・・気がする・・・・

あり得ない。

Ｙ（ひっくり返した後の表の枚数）＝Ｘ（ひっくり返す前の表の枚数）＋Ａ（裏のコインをひっくり返した枚数）−Ｂ（表のコインをひっくり返した枚数）となる。
「6枚同時にひっくり返す」（Ａ＋Ｂ＝６）ので、
Ａ−Ｂ＝２Ａ−６＝２（Ａ−３）
ここでＡは０から６までの整数であることから、Ａ−Ｂは「０又は２で割れる数」となる。
ＹはＸに「０又は２で割れる数」を加えたものであることから、Ｘが偶数（０を含む）であればＹは常に偶数（０を含む）となるが、Ｘが奇数であれば、Ｙは常に奇数となる。
最初は11枚のコインが全て表であるので、Ｘは奇数であり、Ｙも奇数となる。2回目以降は、前回のＹがＸに変わるだけで、Ｘ及びＹがともに奇数であることは何度繰り返しても変わらない。つまり、表の枚数は常に奇数となってしまうため、０になることはない。

まずコインに１から１１まで数をつけて…

１〜６ひっくり返す　
２〜７ひっくり返す
３〜８ひっくり返す
４〜９ひっくり返す
５〜１０ひっくり返す
６〜１１ひっくり返す
７〜１１＋１ひっくり返す
１、４、６、７、９、１１ひっくり返す

まず、11枚のコインをすべて裏にするためには、最低11回の操作が必要。
次に、すべてが裏の状態から、ひとつのコインを表にして、裏にするのに2回の操作が必要。
すなわち、すべてが裏という状態を続けるためには、11回＋偶数回の操作が必要なので
必ず奇数回の操作が必要。

一方、一度に行う裏返しの操作は６回なので、何度やっても合計が奇数回の裏返し操作はできない。

だから、ありえない。

すべてが裏の状態にするには、何回の「裏返しの操作」が必要かを考えます。
（ここでは一度に6枚同時に、ということをまず除外して考えています。）
そうすると、11,13,15・・・となります。
この11,13,15ということを考えるためにNo.5前半です。（「すべて裏という状態を続ける」と書いたのは、ゴールの条件を満たしている状態をすべて考え、そのときの裏返しの回数を考える、ためにです。実際可能だとして11のときなのか、197のときなのかはわかりません。「すべてが裏の状態」がありうる場合を考えています。ゴール、というのはそこで終わり、という意味ではありません。問題の「同時に裏になること」という状態のことですが、一度できれば続ける必要はないので、ゴール、と表現しておきます。）

一度に6枚、ということは「6回ずつ」「裏返しの操作」をする必要がありますが、
「６回」の操作を何度繰り返しても（６に何をかけても）、上の11,13,15・・・にはなりません。

まず、「一度に6枚同時」という条件を抜きにしてゴールまでの道を設定し、
次に条件を満たしながらそのゴールへたどりつけるかを考える。
という意味なんですが。

１枚のコインが裏になるためには、裏返す回数は１回、３回、５回…と奇数になります。
１１枚のコインがすべて裏になるために裏返す合計回数は、１枚ずつの回数をすべて足すので、奇数を１１回足すこととなり、必ず奇数になります。
一度に６回裏返すということは、何度やっても裏返す合計回数は偶数になってしまうので、すべてのコインが同時に裏になるということはありえません。

六枚を裏返したあと、もういちど新しく六枚選んで裏返すとします。
この操作をしたあとに裏返っているコインの枚数は、二回目に裏返すときに選ぶ”既に裏返っているコイン”の枚数によって決まります。これをn枚とします。
"既に裏返っているコイン"はn枚表になり、"依然として裏返っているコイン"は(6-n)枚になります。また、"はじめからずっと表のコイン"は(6-n)枚だけ裏返されます。
この操作が終了したあと、裏返っている枚数は(6-n)+(6-n)=(12-2n)枚となります。
nは1〜6の整数ですから、2nは偶数となります。偶数-偶数=偶数ですから、(12-2n)も偶数となります。よって、何度操作を行っても、裏返っている枚数は偶数となります。
ここで、11枚全部が裏返っている状態になるには、5枚裏返っている状態になる必要があります。5は奇数なので、この状態になることはあり得ません。
∴あり得ない

ありえない。
一つのコインをひっくり返す操作を１操作と定義すると、与えられた条件では１回に６操作を行うことになる。次に、一つのコインに注目したとき、最初表の状態が最終的に裏になるということは、合計で奇数回の操作を受けたことになる。１１枚（奇数）のコインがすべて奇数回の操作を受けるから、すべてのコインが受けた操作の合計は奇数になる。しかし、一度に６操作という偶数回の操作しか出来ないので、奇数を偶数で割っても割り切れることがないから、これは不可能。

おそらくできないと思います。

用意されたコインが奇数枚、一度に裏返せる枚数が偶数枚、元々裏返ってる枚数が偶数枚のとき、
全部裏にするには、一度でも表の枚数を偶数枚(＝裏の枚数を奇数枚)にする必要がある。
�@裏のものを表にしない場合、
　裏の枚数は偶＋偶で偶数のまま

�A裏のものを表にする場合、
　一度にx（偶数）枚裏返せて、y枚表にするとすると、新たに裏返るのは、x-y枚で、それ以外の裏の枚数は、偶(元々裏だった物の枚数)-y枚となる。
これを足すと、(x-y)+(偶-y)＝x＋偶−2y＝偶＋偶−偶で偶のまま

したがって、どの場合も裏の枚数が奇数になることはないからです。