この様な直方体は出来ません
まず底面の四角形でたとえると２辺と対角線の比を３：４：５にして対角線をこの内の５にしなくてはなりません。この条件で直方体はどうやっても作れません。

Answer：できない。
線が全て整数比となるには縦，横，高さ全てが整数であり、また対角線も全て整数になればよい。

３辺をa，b，cとする（a，b，cは整数）
a^2＋b^2＝d^2（^2は2乗を表してます）
b^2＋c^2＝e^2
c^2＋a^2＝f^2
a^2＋b^2＋c^2=g^2になればよい。
（d，e，f，gもまた自然数）

上の式を移項して、
a^2＝d^2−b^2
b^2＝e^2−c^2
c^2＝f^2−a^2
→d^2−b^2＋e^2−c^2＋f^2−a^2=
　g^2
＝d^2＋e^2＋f^2＝2g^2
よって、d^2＋e^2＋f^2は偶数となる。
したがって、d，e，fのうち1つが偶数（�@）か、全てが偶数（�A）となる。

�@1つのとき
d＝2pとする。（pは自然数）
a＾2＋b＾2＝4p＾2
よって、a，bは両方偶数（�T）か両方奇数（�U）となる。

　�T偶数のとき
a＝2x　b＝2yとする。
4x^2＋4y^2＝4p^2
x^2＋y^2＝p^2
よって、これらを満たす自然数a，b，dは存在しない。
（a，b，dが無限に2の約数を持つため）

　�U奇数のとき
a＝2x＋1　b＝2y＋1
4x^2＋4x＋1＋4y^2＋4y＋1=4p^2
x^2＋x＋y^2＋y＋1/2＝p^2
自然数を2乗しても自然数なので1/2という数は出てこない。
よって、これを満たす自然数a，b，dは存在しない。

�A全てが偶数の時
ｄ＝2p，e＝2q，f＝2rとする。（p，q，rは自然数）
a^2＋b^2＝4p^2
↑以下�@に同じ

�@�Aより全てを満たす自然数は存在しない.
　　　　　　　　　　　　　証明（終）

9＊12＊12
最小の自信がないけど

ヒミツ

いわゆる「完全直方体」（辺の長さ，面対角線，立体対角線がすべて整数になる直方体）はまだ発見されていない，しかし存在の否定ができない非常に（その手の分野では）有名な未解決問題なのですが……（コンピュータでもリサーチできていない）
もし見つかった（あるいは非存在が証明できた）とすれば大発見ですよ。

ちなみに。
１）面対角線までなら整数（立体対角線は除く）の例：3辺が44,117,240
２）辺と立体対角線だけが整数（面対角線は除く）の例：3辺が3,4,12
というのはありますね。
これは比較的見つけやすい（手でも10個ぐらいは計算できる）のですけど・・・

底面の縦をX�p、横をY�p、高さをZ�pとする。例えば、Xを3と置くとYは4となる。このとき底面の対角線は5�pとなる。すると、高さZは、底面の対角線から三平方の整数比を出すと、5：12：13があてはまるので、Zは12�pとなる。しかし、Xを含む側面から高さZをだすと、3：4：5でしかあてはまらないので、Zは4�pとなり、同様にYを含む側面からZは3�pとなる。
このように、一つの辺の長さを決めると、それに応じた三平方の整数の比の値も限定されてしまい、必ず矛盾が生じてしまう。
よって、すべて整数比で表せる直方体はない。

１　１　１

ない。(たぶん。)
立方体の一面だけを観ると対角線の長さが、縦(x)の2乗+横(y)の2乗=√(z)に成ってしまうから。 三角錐ならすべての辺の比が1でOKですが四角柱ではムリだと思います。

問題の条件を満たすa×b×dの直方体が存在すると仮定するならば、
（a = 縦、b = 横、d = 高、c = 底面の対角線の長さ）
a^2+b^2=c^2 ・・・�@
a^2+b^2+c^2=d^2　・・・�A
この２つの式を満たす整数a,b,c,dが存在する。

�@、�Aより
2c^2=d^2　　　　・・・�B
両辺を平方して
√2*c = d
となり、これはc,dが整数であることに反する。

よって、問題の条件を満たす直方体は存在しない。