（定規とコンパスだけで、線分の三等分は可能だけど…。）

「定規１本」というのは、たとえば「平行線を引く」のに、定規２枚を使うな、という意味でしょうか。
「鉛筆」を定規がわりにして平行線を引いてもいい（誤差を認めるなら）ということでしょうか。

定規は「直線を引く」道具であって、そのほかの使い方をしない、ということでしょうか。

以上、確認です。

>線分の3分割は、角の三分割との兼ね合いで、特殊な場合(90゜)を除くと不可なので

なぜ９０°が出てくるのかわからないけど、

「平行線」さえ引くことができれば、（角の分割にまったく関係なく）
「任意の線分」の３等分でも７等分でも、可能。中学生でもできたはず。
（我々のころには教科書に出てたと思う）

【追加の確認】

「鉛筆２本」というのは、
鉛筆を「直線を引く道具」以外の目的で使うわけでしょうか。
（芯の太さがあるから、厳密には直線といわないから、普通の場合、「定規とコンパス」だけ使うんですが…

「数学カテ」でないのが、何かの「ネタ」問題なのかな？とも思うのですが、
ヒントを見ると、真面目な作図のようにも思えるし…

消える前にこの問題で囁きました回答を書いておきます。

�@角の二等分による挟み込み法（ヒント1にある別解）
�A75°を作り（これは簡単に出来るでしょう）その紙を折って頂角75°の扇型
　（三角形）を作り上手に３つに折る（作図できないのでＮＧ）
�B同じく頂角150°を作り頂角が頂点となるように丸めて円錐形を作り
　そこに六角形の鉛筆を差し込んで六角形の頂点に接する点に印をし
　開いて印と頂点を結ぶ（誤差が大きそうですね）

だったと思います。（違っていたら申し訳ありません ）

又ヒントの4
>・　条件にあるもの以外にあるものを使うが、これは分度器やそれに類するものではない。
これって有りましたか？有ったとしても何か？が残りますが・・・
（最初は確か紙、鉛筆2本、消しゴム、コンパス、定規だったような）
その条件以外のものによっては簡単に出来ると思いますが・・・

鉛筆の断面は正六角形
1本の鉛筆を垂直に立てて
正六角形のスタンプのように使う

│
│───□□□□□□／＼
│□□□＼□□□／□□□＼ａ
│□□□□＼□│□□□□□│
│□□甲□□＼│□□乙□□│
│□□□□□／│□□□□□│
│□□□□／□│□□□□□│
│□□□／□□│□＼□／
└──────Ｘ──────────

まず正六角形の頂点と一辺を紙の角に合わせる
もう1本の鉛筆で周囲をなぞって
左一部が欠けた正六角形甲を書く

次に書く正六角形乙は甲から１５度回転してるのがポイント
コンパスと定規を使って甲の頂点を通る垂線Ｘを引き
垂線Ｘに鉛筆の断面を合わせて正六角形乙を書く

角とａを結ぶと
かなり２５度の近似になると思います

あっ　書き込んでから間違いに気が付いた　←修正しました

>鉛筆の軸の形はどんな形でも出来る問題です。

正六角形はコンパスと定規で書けますので
手順が複雑になるだけで上の作図は可能です

ヒントからして、この方法でしょうか？

うーん　鋏を使ってはいけないのですか？

さてヒントを7つとも読みまして囁いておきます。

やっぱり別解か
まあコンパスを使ってないから正解じゃないと思ったけど

そういえば「おりがみ」の手法を使えば
９０度以外の角度でも３分割ができます

「おりがみ　・・・・・の作り方」とかで
「ここで角になる部分を３つに折ります」
なんてよくでてきますね

これも別解だろうな
今度は定規と鉛筆も使わないし


↓３分割３分割２分割で２５度がつくれます

>具体的にどういう手法でしょうか…
例えば９０度の紙の角を
コンパスや分度器なしでも３分割に折れます
何度も微調整しながら折りたたんでいく感じ

それで３０度をつくり
それをもう一度３分割に折って10度
最後に２つに折って５度ができます

最後の２つ折りは一度紙を伸ばして
１０度の目盛り５個分を重ねるように折ったほうが
きれいで正確な２５度がつくれます

ー解答発表ー

このほかにストップウォッチ(と太陽)を使う。
太陽の進行は一時間に15゜、20分で5゜なので、紙に鉛筆を一本つきさし、盤面を60゜に傾けてある時刻に鉛筆が作る影の方向を記録し、その100分後にもう一度影の方向を記録すると、25゜が取れる。これを使って角の分割を行う。
日時計については　http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%97%A5%E6%99%82%E8%A8%88　参照

小学生向け理科読本を参考にしての出題です。
正直図学的な解法がこれだけ出てくるは思わなかったので、まごついてしまいましたが。

>紙に鉛筆を一本つきさし、盤面を60゜に傾けてある
あれ？盤面って？
一枚の紙に鉛筆を突き刺してもペラペラでどうにもならない
使う道具に「板」を追加するべきでは？

盤面を60゜傾ける方法も説明してほしい
傾ける方向をどうやって決めるかも

この方法は実証済なのでしょうか？
日時計ではたして誤差1度以下の精度を実現可能なのかな？

あーロック早すぎ

日影曲線は太陽の位置と時刻との誤差です
それに日時計作成上の精度の誤差と
影の位置の観察時の誤差が加わりますから
最終的な誤差はかなり大きくなりませんか？

>60゜は作図で取れます。
どこに作図するのでしょうか？
もう紙は鉛筆が刺さっていますよ

鉛筆を盤に（高い精度で）垂直に固定するのも
どうするのか？簡単ではないと思います
盤を傾ける角度は本当は緯度に合わせる必要があります
東京なら30゜では5゜40くらいずれてるのかな
そこでまた精度が落ちると思います

私も頭の中であれこれ考えただけですので
Submarinさん　じっさい正解の方法を試して
結果をリポートしてもらえませんか？
「実際に２５度の線が書けました」と聞けば
私も納得できます

>>分かりました。暇が出来次第実際にやってみます。
ありがとうございます　結果が楽しみです

それから１つ
“12時の南中”とありますが「時計」は使えないのをお忘れなく

実際の実験はまだやっていませんが(休みでしたが太陽が出ず)、今日一日本屋などを
走り回って、自分の知識足らずなところを調べてまいりました。

とりあえず、単純に考え直してみると…
盤面を条件の通り60゜に傾けることが出来さえすれば、この板は北極の地面と水平になったとみなせるので、時間に関係なく地球は100分で25゜回りますから、ストップウォッチだけでことは足ります。

誤差のことも調べてきました。上に述べたとおりの理由で、東西の誤差はとりあえず関係なく、南北の誤差が主に関係します。
北に行くほど誤差は大きくなり、北海道の北の端(北緯45゜)だと、盤面からの傾きの誤差が15゜を超え、25゜を取るときには角度にして1-2度くらい(測定を始める時間による)の誤差が生じます。ただ、北緯45゜では盤面を45゜にするとすると、誤差が〜7.5゜までとなり、この場合ならば最終的な1〜コンマ数パーセントの誤差に留められます。

60゜の取り方について。
コンパスともう一本残った鉛筆で取ります(鉛筆は二本です)。
ボール紙に刺した鉛筆と紙はとりあえずぐらぐらしないで90゜を保つと考えれば、鉛筆から紙の一辺までの距離の二倍の点に鉛筆の先端を持っていくと、紙は60゜に傾きます。正三角形を考えると分かるかと思います。(地面はやわらかいところか、鉛筆で印が出来るところに限られますが。)

ただ…
最終的な問題は、どうやって真北(極北)の方角を知るかということです。
今日初めて知ったのですが、南中の時刻は年間通して毎日変わり、30分近い幅でずれます。これではその時刻が分からない限り使えません。
この問題に出題する際に元の問題をいじったのですが、そこでは方位磁針を使っていました。が、方位磁針も実際の北極の方角とずれるので、最悪この問題の条件を満たしたままでこれを求めるとすると、二日は要します(前日の日の出と日の入りに影が作る二本の線を記録して、この線の作る角を二等分して求める)。

参考にした問題に不備があった上、自分がいじった所為でかなりおかしな結果になってしまった点、お詫び申し上げます。

全く別の方法を…。（でも、「囁き」などで既出かも…）

「鉛筆２本をＬ字形にして『任意の角を三等分する定規』として、これをうまく使えば…」
http://yosshy.sansu.org/santobun.htm
原理は中学の数学ですが、「日時計の詳しい話」も小学生には難しいかも…。

ロック解いたのですねありがたい
私も日時計の問題を出題した事がありますから
日時計にはちょっとうるさいですよ

私の考えた方法

a　　　b　　c　　d
┌─┬─┬─┬─
│＿│＿│＿│
│＿│＿│＿│
│＿│＿│○│
│＿│＿│＿│
│＿│＿│＿│
└─┴─┴─┴─
紙の端に等間隔の平行線を３本ひく
ｂとｃを６０度折ってaとdを合わせる
○は鉛筆を通す穴

＿＿＼
＿＿＿＼
＿＿＿／＼
＿＿／＿＿＼☆
＿／＿＿＿＿＼
／◎＿＿＿＿＿＼
横から見るとこう
ここで☆の位置の穴に鉛筆を通し
正三角形の角◎まで差し込みます
これで鉛筆を３０度の角度に固定できます

このまま平らな地面に置けば
盤面の傾きも６０度です

ひとまず日時計は完成しますが
やっぱり方角がわからないのは痛いですね
>これを求めるとすると二日は要します
私もそう思います
1日かけて影を記録するしかない

極北の問題と緯度による傾きの問題だけであるならば北極星を使う方法が有ります。

現実問題はさておいて例えば紙に鉛筆を90°に固定し（出来るとして）
鉛筆の芯を抜いてその穴から北極星を見て固定すれば
極北と緯度による傾きはほぼ解消できます。（1°程度の精度になるはずです）
又鉛筆から地面に向かってまっすぐに線を引く
（現実問題では錘をつけた糸で出来ますが）事により紙の上に東西南北
を移す事も可能です。

しかしここまでやらなければならないとしたら精度の問題も有り
＞原理が分かれば、小学生にも出来る方法
とは言いにくいような気がしますが・・・

そうですね。
小学生と言っても5〜6年生を対象にしなければ説明は不可能でしょうね。
ただ星の動きなどは4年生で習うはずですし、（北極星は北極の真上に有り動かない）
春分（又は秋分）の時に太陽は赤道上を動き北極（南極）では地平線上を24時間で
1周（360°動く）事は簡単に説明が付きそうに思います。
ここから極点では太陽（影）は1時間で15°動く事までは問題ないでしょう。
しかし極点以外では緯度分軸を傾ける事や磁北と極北が違う事などは説明が
つけにくく、何故約30°（面を60°）傾ける事や磁北から約7°東が極北
等といった説明は納得ではなく「こうなんだからこうしなさい」の世界に近いもの
と思います。（磁北と極北の誤差は大人でも知らない人がいるでしょうし、
現実的に判りにくい日の出、日の入りから極北を見つける方法も同様でしょうね）
ただ北極星を使う方法ならば軸の真上に北極星があるのは北極の地面と同じもの
と言った説明で理解できるかもしてません。
（ただ春分、秋分以外でもＯＫの説明は難しいかも知れませんね）

さて別のやり方として
・紙を帯状に折る
・帯を結んで正五角形を作る（108°ができる）
・108°から72°が出来、これを2等分する（36°ができる）
・正三角形から30度を作りこれを2等分する（15°ができる）
・15°と36°の2等分線を引く（25.5°ができる）

>このほかにストップウォッチ(と太陽)を使う。
というわけですでに道具に使える恒星は１つ指定されているので
「北極星」は使えないのでは？

地面に何か書いたり印をつけるのも
使用する道具に惑星が１つ追加されます

一番作図が簡単そうな別解
紙に等間隔のマス目を書く
角を原点（0.0）として
（13.6）と結べば２５度の近似


↓まあ北極星が使えるなら
　　かなり日時計の設営は正確になります

ＳＨＩＳＨＩ１ さんの鉛筆の芯を抜くのはナイスアイデア
ほとんど気分は大航海時代ですね・・・・四分儀とか十二分儀とか

小学生に分る原理を使うんでしたね
すると座標作戦はダメか

さて北極星を利用した日時計作成方法

150×60cm　くらいの巨大定規を使います
実際はそのくらいの大きさの板を“定規”とみなして使います

＼芯を抜いた鉛筆
＿＼
┌┬☆┬┐
│└─┘│
│＿紙＿│☆の位置で
│＿＿＿│板と紙と芯を抜いた鉛筆を
│＿＿＿│重ねた状態で指でつまみ
│＿＿＿│板自体の重さで下へ吊り下げます
│＿＿＿│この状態で北極星を見つけ
│＿＿＿│まず角度Fを紙に記録し
│＿＿＿│板をゆっくり地面につけ
│＿＿＿│板を右にゆっくり倒せば
│＿板＿│それが東の方角です
└───┘

紙の適当なところに
二等辺三角形ａｂｃを作図します
角ｃ＝角度Ｆの2倍
bc＝ｃａ

a　　　c　　b　　ａ
┌─┬─┬─┬─
│＿│＿│＿│
│＿│＿│＿│
│＿│＿│○│
│＿│＿│＿│
│＿│＿│＿│
└─┴─┴─┴─
三角形の各辺の長さａｂ、ｂｃ、ｃａをとり
紙の端に平行線を３本ひく
あとはNo.13 と同じ

えー、お待たせしました。
実験結果を発表します…といいたいところなのですが、
ひとつかなり重大な見落としに気づきました。
盤面が60゜に傾けてある…ということは、つまり太陽が地面に対して
60゜以上の角度を取っていないと、影が記録できません。
今の時期、南中ごろでも太陽の指す角度が60゜を切っているので
この条件だと、昼ごろ(小学生が学校にいる頃)だと影を記録できません。
夏場なら問題無しだったのですが。
元の参考にした本にその辺が書いてあったのかは忘れてしまいましたが、
これも欠点に挙げられます。

さて。
このまま来年の夏まで待つわけにも行かないですし、いろいろ納得がいきませんので、
天文シミュレーター、理科年表と3Dレンダリングソフトを使って
結果を打ち出してみることにしました。
太陽光線の移動でややこしい角度計算がある為、今日迄この方法は使わなかったのですが、こうなってしまった以上今日一日当てて計算して(委細省略)、結果をとったところ、以下の通りでした。
日取りは夏至(6/23)、場所は東京(北緯36゜)として、
軸が極北を向いていて、盤面が30゜の場合の誤差は、0.8度程度(24.2゜)、
南中を含む誤差で軸が極北からみて、3.75゜(最大のずれ)だった場合、
誤差は1.2゜程度(23.8゜)となりました。
ただし、影の角度に関しては3Dレンダリングソフトの結果から目視しましたが、処理の関係でドットが潰れて目盛りが書き込めなかったので、0.5度以下の角度でずれがあるかもしれません。