直感ですが、極限で考えれば

たぶんこの答えだったと思うのですが、



参考

http://www.math.hokudai.ac.jp/~tachizaw/kakeya.html

http://www4.ocn.ne.jp/~arai/lebesgue/Perron.html

回転と言えるのかどうか…

おやぢのパワー炸裂？ですね。では……箒ではないので掃けない。

違うかな。

確か・・・こうだったような

簡単に考えるとこんな感じ？

言葉って難しい・・・
だけどきっと間違えている！！

判らんよ

間違いだとわかってますが・・・

ちなみに線分と直線って違いますがここがヒントなのかな？？？

こりずに
下手な鉄砲も・・・

平面上で回転ですか〜；
それでもそのまま回転させるのだったら問題にしないでしょうからね・・・

こんな解答はどうでしょう？？
説明解り難いかもですが、これ以上よい説明の仕方が浮かびません。

これより小さくは思いつかない（算数・数学は苦手）

数字はこうなんですが

あーっ、わかった！！
ご指摘から再考したらもうちょっと縮まりました。
ついでに解説文も短くなりました。笑
多分こうではないでしょうか？？

※追記
あ、違うや。
調子乗ってすげー恥ずかしい…
冷静に考えたら、これじゃあ普通に180°回転させた時と面積が同じですね;;
かといって他に思いつく答えもなし。

数学よりも、「ネタ」で考えたら…

この問題、途中で解答判定がかわったんですか？

ふぅ・・・ようやくここまで辿り着いたという感も。
今までと方式は違う気もしますが、
これはこれである意味正解ではないかと思います。

・・が、今回も調子に乗ってるだけか？！

皆さん、卵王子さんの解答についてどう思われますか？？


これも正しい気がするのですが…しかも簡潔でわかりやすい！！


共感、ご指摘などありましたらぜひよろしくお願いします！！！

この問題　もう少し条件を明確にしていただけると考えやすかったのですが・・・

回転の原点は途中で移動してもいいのですか？
線分は回転の途中で平行移動させてもいいのですか？

この２点とも”いい”場合は・・・
どちらかがいい場合は・・・
では両方ダメな場合は・・・

で解が変わる（可能性がある）と思うのですが・・・
ちなみに>18の卵王子さんの答えは両方ダメな場合ですね。
但し答えは・・・

わたしの最初のレスは>>18の卵王子さんの答えと全く同じ考えです。
平面上と書いてありますので、ベロンの木とちがって、無限の広さを使えます。
回転半径を無限大にすれば、面積は0です。

>>1は囁きに「0」と記入してあり、最初のうちは正解マークだったのですが、
いつのまにか「囁いてください」に変わってました。

＞直線を進ませながら平面上に大きく『半円』を描く？

これだと、とても細長い？形に…。ほそくなるだけ？長くなりますネ。
ちゃんと計算すると０にはならないのでは？
線分がその中点で半円（弧）に接しながら移動する図を考えましたが…。
どうでしょう？（　5^2　は「５の２乗」の意味で。）

とりあえず正解判定頂けたようですね、一安心。
PDJさんと同じ答えだったようで、光栄です。

＞SANさん
その通り、0にはなりません。
円を描く点が直線のどこになろうとはみ出る部分が出ます。
だから「ほぼ0」です。

しかし背番号πさんが用意された答えのほうは一向に思いつきません。

ただいま計算したところ、卵王子さんの解答は間違っていることがわかりました!!

つまり、回転半径を無限大にしても答えは0になりません。。。。

ということで、申し訳ありませんでした

>背番号πさん
いやいや、私は「無限大にすれば0」なんて言ってませんよ。
SANさんが先述したように、円を大きくしても掃く面積は細長く伸びるだけなので、0になることは有り得ません。
だから「ほぼ0」です。

レスNo.22では「ズバリ」を避けたつもりでした。

「直線を進ませながら平面上に大きく半円を描く」は
「０にならない」ではなく「『ほぼ０』にもならない（近づかない）」
…と考えています。
（計算がメンドウなので、 360°回転の場合を考えましたが…？）

きちんと計算するとちがってましたか。

直感ではいかんですね。
失礼しました。

>SANさん
なるほど〜、私は計算できないのでこれ以上は反論のしようもありませんが。
じゃあ「ほぼ5」くらいでしょうか？笑
そんなに大きい数字にはならないと思うんですが。

ところで背番号πさんが用意されたお答えはどのくらいの数値になるんでしょうか？
考え方はペロンの木方式？？


↓結構数字大きかったですね。
しかし0とは・・・
こりゃおとなしく正解発表を待ったほうがよさそうですね。

やはり「ペロンの木」だったのですか。

ところで「ペロンの木」の場合、面積は本当に”0”に収束するのですか？

いくら分割数を増やしても重ねあわさない時の合計は元の三角形と同じ面積のはずです。
しかも三角形の斜辺は最大60°違うはずですから完全に重ね合わせる事は不可能
と思います。（不可能なら0には収束しない）

ここで一辺の長さａの正三角形の頂点から底辺を2等分点に線を引き二つの三角形に
して左はa/4右に右はa/4左に同一底辺になるように重ねます。
（この図形の面積は最初の3/4、この時最初の三角形とは高さ1/2で交差しています）
これを何回か繰り返しますと

分割回数　　　　面積　　　
　０　　　　　　１
　１　　　　　　3/4　　　　　(2^1+1)/2^(1+1)
　２　　　　　　5/8　　　　　(2^2+1)/2^(2+1)
　３　　　　　　9/16　　　　 (2^3+1)/2^(3+1)
　４　　　　　　17/32　　　　(2^4+1)/2^(4+1)
　５　　　　　　33/64　　　　(2^5+1)/2^(5+1)
　・・・
　ｎ　　　　　　　　　　　　(2^n+1)/2^(n+1)　　　→1/2に収束

になるみたいなのです。
これは重なり合った各三角形の重なりの最後が1/2の高さの位置に出来、そこでの
重なりの幅が元の三角形の1/2の高さの長さと同じ（1/2a）になる為、これより上の
面積は元の1/4、下の面積は底辺上で一点になった時の面積に収束し（1/4)最終的には
1/2に収束するみたいなのです。（詳細な説明は省きます。7回まで作図確認済み）
同様に底辺から高さｂ(b<=a)の所で重ね合わせると上の部分については一辺（a-b)の
三角形について底辺を重ねた場合と同じで下については高さｂの三角形に収束する
みたいです。これを解きますと底辺から高さ１／３のときに面積も１／３となり
最小値みたいなのです。（詳細な説明は省きます。５回まで作図済み）

きっともっとうまく重ね合わせる方法があるのでしょう
私には限界みたいなのでいい方法があったら教えてください。

尚、180°回転させるためにはこれが３つ（１つで60°しか回転させれない為）必要で
これも重ね合わせる事により（今の所下から60％の所）面積も60％（60/√3、約34.64
、確かに>>18　の卵王子さんの方法 12.5π、約39.27よりは小さい)になる所までは
検討できたのですが・・・

あと、この方法では軸方向以外の平行移動がありその際に”掃く面積”の問題もあります。
（>>20　で一寸書いておいたのですがルールの問題も有り）
平行移動での面積を入れると「ペロンの木」方式はＮＧになりますので最小ではない
かも知れませんがやはり　卵王子さんの方法が一番エレガントではないでしょうか？

そうですね…多大なる検討、ありがとうございますｍ(_ _)ｍ


しかし、この問題は数学界を成長させた、かなりの難問です。
解かれるのに１２年間かかっています。
またこの問題は、数学者に「平面の面積」の構造と性質を大いに反省させ、積分論などの数学に多くの影響を与えています。

また、アーベル賞を去年受けたレナルト・カルレソンの研究は、掛谷問題に関するテーマでした。

ペロンの木の解法はかなり難解なものです。

数学を専攻していても、いつ理解できるか到底検討がつきません


なので、それ以上詳しいことは分かりかねます…



また、最後の二行がよくわかんないんですが、どういうことでしょうか？？

分割や移動重ねあわせを色々無作為に（見た目小さくなるように）やってみました結果
1/3より小さくなるみたいなのですがいくら見ても0にはならないような気がして
仕方有りません。

うーん本当に０になるのだろうか？

最後の2行は問題に対する考え方についての事を言っているつもりだったのです。
線分を回転させ出来る面積を分割重ね合わせる事で最小にした場合は
「ペロンの木」方式でいいと思いますが、問題は線分を回転させ出来る面積の最小値
を求める問題だと思います。
ここで>10に書きましたように
�@回転の途中で回転の中心を動かしていいのか？
�A線分を平行移動させていいのか？
�B平行移動させた場合その際に「掻く」面積についてはどう捕らえるのか？
といった条件付けが発生いたします。
通常は�@、�A共ＮＧで考えますので（私はそう考えましたし卵王子さんもそう考えたと
思います）>>18　の卵王子さんの方法 が最小ではないかと推定しております。
数学的には�@、�A共ＯＫも有り得ると思いますが、「ペロンの木」方式の場合はある木の
頂点で何度か回転させ、次に平行移動させて他の頂点へ行きそこでさらに回転させ・・
これを繰り返す事になると思います。この時平行移動が線分の長さ方向なら平行移動時に
「掻く面積」は０ですから問題ありませんが「ペロンの木」方式の場合は長さ方向以外になります。このため�Bの条件付けが発生すると思います。
（高さ１０の正三角形の場合は長さ方向の移動のみの為これは発生いたしませんが）
この様に「ペロンの木」方式の場合は出題に対して回答に到る為の過程で条件付けが
あるため一種の特殊解になるのではないかと思っているからです。
（収束するのでしょうが０に収束するか私自身は疑問に思っていますし）

なるほど...そういうことでしたか

僕は、動かし方についてほとんど制限をつけていません。
むろん、�@、�A共にＯＫです。

�Bについては、そうですね...たしかにそこは問題のような気がします。
しかし、この問題は、「数学者に「平面の面積」の構造と性質を大いに反省させ」たものです。

よって、なにか特殊な考え方があるんでしょうかね...？？
ちょっと調べてみた結果、ルベーグ積分というものが関係しているようです。

また、問題に言いたりないところはないはずです...


もうしわけありません、出題しといて無責任ですが、もうこれ以上は今の段階ではわかんないです

ルベーグ積分！？　ワオ　もう高校数学程度の私には付いていけない世界ですね。

まあこの問題についてはほぼ私の言いたい事はすべて言わせていただきましたので
私的にはここまでとさせていただきます。

最後に１つ質問を。
例えば”長さ１０の線分を平面状でその長さ方向と直角に同一方向に１０移動させた
場合に「掻く面積」の最小値は？”といった問題の場合普通は１００になるのですが
>>31の�BをＯＫとして「ペロンの木」方式を使いますと０になるのですよね。
計算上は
10×10＝10×10/n×ｎ
重ね合わせる事により　×ｎ→×1
　　　＝10×10/ｎ×１＝10×10/ｎ
ここでｎ→無限大とすると10/ｎ→0
　　　＝10×0＝0
（回転させる場合と違い完全に重なりますので）
�BがＮＧであるならば重ね合わせる時に移動した面積が加算されますので・・・
これはどうあっても納得できないものでこの問題も０は納得できないのです。

「ペロンの木」の簡単な解説がありましたら是非とも教えてください。

それはどうでしょうか…

式を見る限りでは、ｎが飛ぶ先が二つあるように見えるのですが…？？
これらは別の文字としてとらえていいのでしょうか？？

また�Bについての問題は、普通に１００でいいと思います。

このように考えると僕も納得がいきませんが、
そもそも極限の考え方はどんなに頭のいい人でも、直感的にわかるようなものではありません。

たしかに、０にはならないような気がしますが、やはり極限は０なのかも知れません。

僕も、なぜこの極限がαなのか納得がいかない！！といった問題を数多く見てきました。

なぜ０かは厳密には証明できませんが、それは極限の「魔法」ということで、終わりにしたいと思います。

出題者の　背番号π さんへの御願い。

この問題（他の問題も同様ですが）回答としては”０”でいいのですが、
なぜ０になるのか、>>18　の卵王子さんの方法がなぜ０ではなく12.5πになるのかを
ロック時に簡単な解説を御願いいたします。

これまでのレスである程度判るとは思いますが解説がなく単にロックされている
問題が多いため後から見た人が？？？になら無い様にしていただけたらと思います。
（面倒なら代わりに解説してもいいのですが・・・）

宜しく御願いいたします。 　　

ＳＨＩＳＨＩ１さん、遅れて申し訳ありません。

この問題、実は一般人には到底解けないような難易度です
答えが０になるのは、ここでは画像も載せられないので非常に説明しにくいです・・また、僕も理解できないので、なんとなくしか説明できません。

なので、「掛谷問題」で検索していただいて、そおの答えが０であることを確認してみてください・・・いいかげんですみません

そして、>>18の、卵王子さんの方法については・・・

線分を、その中心を直角にもって回転させる・・・つまり、「Ｔ」の下の部分を固定して回転させるとき、その線分が掃く面積は、Ｔの横棒の端点から、縦棒の下の部分の端点のながさを半径とする円の面積から、
「Ｔ」の、二本の線分の交点から、回転の中心までの長さ（つまり、Ｔの縦棒の長さ）を半径とする円の面積をひいたものになります。

ここで、後者の長さを適当にｘとしておいて計算すれば、三平方の定理より、ｘの値にかかわらず、これらの面積の差が一定となって出てきます。

そして、ここでは１８０度の回転よりそれを半分にして、動き出しの部分とかを加えれば・・・

12.5π＋α
となります。

ということで、皆さんご参加いただきありがとうございました