a≧1の時(√2)/2、a<1の時(√2)a/2

2>a≧√2のとき(√(4-a^2))/2、√2>a≧1のとき(√2)/2、1>a>0のとき(√2)a/2

１．lim (a / n) = 0, (n → ∞)
　2等分線の長さは sin(acos(a / 2)) とした時の、最小の長さを答えました。

２．0
　今は + 446 の部分を異なる値に変えて遊んでいます。

min(a / √2, sin(acos(a / 2)))

a = 2 / √3 を境に、
水平二等分線(?)と垂直二等分線の長短が入れ替わるので場合分け。

２，３，５

別問「決闘」で、「正解発表」だけで「解説」がなかったのは…
どうでしょう？（既出をご存じでない初見の人もいるでしょ？）

【 問題1 】
各辺の長さは、AC = 1, BC = 1, AC = a とする。

・a が 1 以下の場合
　a / √2

・a が 1 以上の場合
　cos(180 - acos(a / 2)) / 2) * (1 / sqrt(1 / (S1 / 2) / S2)) * 2

線分AC上に点Aから1離れた位置に点Oをとる。
点Bと点Oを結ぶ線分BOを引いた時、
三角形ABCの面積を S1、
三角形ABOの面積を S2 とする。

【 問題2 】
2, 3, 5

【 問題1 】

0 ＜ a ≦ 1 の時・・・ a / √2
1 ≦ a ＜ 2 の時・・・ √(2 - a) * √(a / 2)

面積比は a と 1 から簡単に出せることに気づいた今日。
バカ正直に S1, S2 の面積を出していたのがそもそもの間違いでした。

1 ≦ a ＜ 2 の式は、斜辺×直線比なので、
三角関数で答えることも可能と言えば可能。

cos(180 - acos(a / 2)) / 2) * √(a / 2)

といった具合。
ただ、面積比から直線比を導き出すのにヘロンの公式を使っているので、
統一性もなく汚い回答ではあります。