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 論理と計算で解くクロスワード 第３弾
難易度：★★★★★
 ピエエル
2007/06/07 23:16
いよいよ★★★★★の登場です！＾＾
第１弾、第２弾をやっていない人はまずそっちを見て感覚をつかんでください。 自作なので面倒な箇所がいくつか出てきますが 着目する点を熟慮して、より簡単に導きだせるようにできるといいですね。 なお、出題者側はコンピュータのお世話にもなっていますが、 紙と鉛筆があれば十分解ける問題ですので、よければそれでチャレンジしてみてください。 解く人数としては２～３人がベストだと思います。（ちょっとしたヒントかも） （解答時間目安：５時間～） 問：とある村の住人が、その村をテーマに、数字を入れるクロスワードを作成した。 ところが肝心な盤面のほうを紛失してしまってお困りの様子。 カギをヒントに、盤面を復元して、さらに数字も埋め、答えを完成してほしい。 ※カギにある“_ _”の数は入れる数字の桁数を表す。 ※なお、クロスワードは以下のルール（クロスワードの基本）を守って作られている。 ・黒マスを上下または左右に２つ以上並べてはいけない。 縦のカギ 横のカギ １.このクロスワードの盤面は １.村の人口 _ _ _ _ _ 横_マス、縦_マスの長方形である _ _ ４.盤面にある黒マスの数 ２.中学生のうち、男子は女子より ６.盤面にある全てのマスの数 _ _ 人多い ７.何らかの自然数 ３.村の家畜の数の２乗 １０.村の世帯数 ５.人口密度 （人/ｋ㎡） １３. 中学生の数 ６.１５をかけると答えが縦８になる数 １５. 小学生の数 ８.何らかの自然数 １６. 女子中学生の数 ９.男子中学生の数 １７.村の面積 （ｋ㎡） １１. 小中学生の数＋２ １８.村の家畜の数 １２.１世帯あたりに住む平均人数 _．_ _ 人 （※端数はない） １３.何らかの自然数の２乗 １４.盤面にある白マスの数＋１ ※縦１は２つのマスのうち、十の位に盤面の横のマス数、一の位に縦のマス数を入れます。 ちなみに僕の２人の友達は、３時間ほどかけて盤面を復元したのち、 縦２を埋めたところで止まってしまいました。 確かにここからは非常に厄介なところで、センスのある背理法を使わないといけません。 すなわち「どう仮定するか」ということ。引っかかった場合はどうぞヒントをご希望ください。 苦情、質問、バシバシどうぞ。 （「人口こんなにいたらもはや村じゃない」とか＾＾；；）
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回答募集は終了しました。
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ヒミツ
表計算ソフトを使いました。
追記 前半はもちろん、普通にやりましたよ 最初に止まったのはやはり縦２ですね。 表計算は５桁絡みの未知桁２～３の乗算で使いました。 
ピエエル
素晴らしい★ 一番乗りおめでとうございます＾＾
使っちゃいましたか・・・後半の面白さが半減だったのでは・・？；； でも前半は自力じゃないとできませんよね？ ＞＞追記 やはりそうですか。そこまでくれば十分な論理力ですね！ （しかも割とすらすらといけたみたいで。） ありがとうございました＾＾ ヒミツ
解き方は多分REEさんと同じ感じっぽいです。
ところで一般にクロスワードでは同じ答えを異なるカギに設定しないというルールもあるんですよ。 また、四隅に黒マスを置かない、三方向が黒マスで囲まれたマスを作ってはいけないなどのルールがある場合もあります。 …ちょっとヒントになってしまいますね 
ピエエル
素晴らしい★
細かいルールがいっぱいあるんですねぇ。 四隅に黒マスを置かない、はよく言われるルールですが、 今回はそれによって序盤が１パターンにわかってしまうのが面白くないと 思ったのでルールにつけませんでした。 （この序盤の分かれ道は今作のエッセンスです＾＾） まあ、数字を入れるちょっと高度なクロスワードなのでその辺はご愛嬌で＾＾；
まあ黒マスはあまり重要なルールではありませんが、
同じ数字が二カ所に入るのは避けた方がが良さそうですよ。 数字なのでこれも難しいかもしれませんが。 
ピエエル
そうですねぇ。
これは完成まで気づきませんでした（汗）。 それに、最後の方なのでどうにも修正がききませんね。。 この問題の欠点といわざるを得ないようです；； ヒミツ
私も５時間に怯えて、一部エクセルさんに助力願いました
 私もそろそろ次のネタを・・・つくりたいな ↓そんな裏話が！ご馳走様でした  次回作は★★暗算でどこまでできるかでしたっけ？ と勝手な希望を押し付けてみる 
ピエエル
正解です★
すごいですね皆さん！さすがに誤答が出るような問題ではないですけど、 それにしても正確ですね～。 実は縦２までの、“解いて欲しい課程”を作ってからは、 すでに鍵がある程度できていて、数が制限されていたんですね。 僕もエクセルを使って答えになるのを探しました。 そしたら本当に偶然、たった一つの数字しか、今まで作っていた鍵にあてはまるものがなかったのです。 その後はそれを導き出せる鍵を作った・・・つもりだったのですが、 後になって自分の論理に穴があることに気づき、他の数字の可能性も出てきたのです。 覆面算の要領で検証するとその可能性が否定できました。 そんなこんなで、「センスのある背理法を必要とする問題」になってしまったわけです（汗）。 ヒミツ
遅まきながら挑戦してみました。
村の人口絡みのところが一番苦労しました。 素晴らしい問題ですね。自分も作ってみたくなりました  次は第4弾に挑戦してみたいと思います。
ピエエル
返信遅れましてすみません！
大正解☆ まだやってくださる方がいたとは感激です！ 褒めていただけるなんて光栄です。 ありがとうございました 
ヒミツ
解き応え、解き心地ともに十二分に楽しませていただきました。
といいながら、手計算があまりにも大変だったので、全パターンを洗い出す部分は Excel任せになってしまいましたが・・・。  数字のクロスワードも楽しいですね。  私もいつか出題に挑戦してみようかと思います。
ピエエル
おおおお！第三弾の正解者がまた一人！
仰せの通り、今思ってもやはりこの問題の計算部分は非常に厄介で、 Ｅｘｃｅｌはやむをえない（いやむしろ賢明な）手段だと、自分でも思います  この形式の問題を楽しんでいただけたようで幸いです。 アトさんは覆面算を主に作っていらっしゃるんですね。 数字のクロスワードと覆面算、かなり共通するところがあるので、 アトさんが問題を考えたらすごい作品が生まれそうですね そして僕は解けるのでしょうか  いろんな意味で楽しみですね
出題者です。
一週間経ちましたので、発表いたします。
*はじめに* 手がかりはカギにあります。カギの数字は縦のみに使われるのか、横のみなのか、あるいは両方なのか、 そしてそれぞれのカギは何桁なのか、できる限り暴いておきましょう。 ここでは書きませんが、実際に解くならこれらを初めに整理しておくことは必須です。 ～では解説～ 解説しやすいように、マス目に番号をつけます。 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ 列 列 列 列 ↓ ↓ ↓ ↓ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 一行→ |___|___|___|___| ・・・ 二行→ |___|___|___|___| 三行→ |___|___|___|___| 四行→ |___|___|___|___| |・ ・ ・ 図のように左上から順に行と列を定め、 たとえば上から２番目、左から３番目のマスは「第二行第Ⅲ列」と呼びます。 以下、これをさらに簡略して（二，Ⅲ）のように表すことにします。 （ちなみに列の名前はローマ数字で、順に書くとⅠ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ、Ⅸ、Ⅹ・・・） 条件「黒マスが並んではいけない」「白マスは分断されてはいけない」から、 カギ１の位置は次の２パターンに限られます。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿ |①_|___|___|___| |___| ＿＿＿＿＿＿＿＿＿ |■■①_|___|___| |___|___| ここで早速推理の分かれ道！ 復元していくうちに、どちらかに矛盾が生じるはずです。 現時点でどちらが正しいかはわかりません。とりあえず上の盤面を進めてみることにします。 縦１は２桁なので、その先の（三，Ⅰ）は黒マス。「黒マスは並ばない」からその周りは白マスになります。これは基本となる手順なので覚えておいてください。 横１にも同じ作業をすると下図のとおり。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ |①_|___|___|___|___|■■___| |___|___ |___| |■■___| |___| ※ただしⅤ列以降は存在するかが定かではありません。 行については、 ・縦１の情報から 行・列 ともに１０以上はないこと ・３桁の縦12があること から、少なくとも４行以上はあることが推理できます。 次に縦２を考えます。"カギ２"のマスを（一，Ⅱ）にとってみると、縦２は２桁なので ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ |①_|②_|___|___|___|■■___| |___|___|___| |___| |■■■■___| |___|___| このように黒マスが並んでしまいます。（不適） では（一，Ⅳ）におくとどうでしょうか。この場合、（一，Ⅱ）と（一，Ⅲ）にはカギができないはずなので、（二，Ⅱ）と（二，Ⅲ）に黒マスが必要になり、これも条件にそぐいません。 条件を満たすためには"カギ２"マスを（一，Ⅲ）にとる必要があります。（下図） ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ |①_|②_|___|___|___|■■___| |___|■■___|___ |___| |■■___|■■___| |___|___|___| では"カギ３"の位置ですが、（一，Ⅳ）か（一，Ⅴ）にないと、 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ |①_|②_|___|___|___|■■___| |___|■■___|■■■■___| |■■___|■■___| |___|___|___| 図のようになってしまいますから（不適）、どちらかにあることになります。（下図参照） ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ |①_|②_|___|③_|___|■■___| |___|■■___|___| |___| ・・・Ａ |■■___|■■___| |___|___|___| ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ |①_|②_|___|___|③_|■■___| |___|■■___|■■___|___| ・・・Ｂ |■■___|■■___|___| |___|___|___|
ではどちらか適さないものがあるか検証してみましょう。
Ａを見てみます。"カギ４"が横であることから、次のように書き進めることができます。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ |①_|②_|___|③_|___|■■___| |___|■■___|___|■■___| |■■___|■■___|___| |___|___|___| ここで注目するのが第三行！ 第Ⅱ列に縦のカギが、第Ⅳ列から横のカギがあることがわかります。 縦のカギと横のカギが連続しているのは、"３と４"、"９と10"、"14と15"しかありません。 "カギ３"はすでに使われているし、"カギ14"が（三，Ⅱ）では、明らかに13以下のカギを書き入れる余地がありません。 では（三，Ⅱ）を"カギ９"にしたらどうでしょうか。この場合、カギ"４，５，６，７，８"は第一行か第二行にあることになります。 （二，Ⅲ）が横のカギなのでそれは"４"か"７"になりますが、いずれの場合も ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ |①_|②_|___|③_|___|■■___| |___|■■④ |___|■■⑤_|⑥_|⑦ ⑧ |■■⑨_|■■⑩_|___| |___|___|___| ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ |①_|②_|___|③_|___|■■④ |⑤ ⑥ |___|■■⑦_|___|■■⑧_| |■■⑨_|■■⑩_|___| |___|___|___| （列は最大９列のため）カギの数字は敷き詰める必要があり、"カギ６"に横のカギが存在することに矛盾します。（不適） したがって、"カギ３"の位置はＢが可能性として残ることになります。 こちらの場合、（三，Ⅱ）を"カギ５"に、（三，Ⅳ）を"カギ６"にすることで、問題が解決します。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ |①_|②_|___|___|③_|■■___| |___|■■___|■■___|___|___ |■■⑤_|■■⑥_|___|■■___| |___|___|___|___|***|___| |___|■■___| |___| 盤面にあるすべてのマスの数（横６）は縦１の情報から２桁です。 なお、図の***部分は黒マスか白マスかがまだ特定できません。 上図より、"カギ４"は（二，Ⅴ）と確定します。また、横４は明らかに２桁です。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ |①_|②_|___|___|③_|■■___|___ |___|■■___|■■④_|___|■■___| |■■⑤_|■■⑥_|___|■■___| |___|___|___|___|***|___| |___|■■___| |___| この図から、第Ⅵ列以降にカギが存在しないために、列の数は６列 に決定できます。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ |①6|②_|___|___|③_|■■ |___|■■___|■■④_|___| |■■⑤_|■■⑥_|___|■■ |___|___|___|___|***|___| |___|■■___| |___| カギ"７"（横のみ）、"８"（縦のみ）を書き入れます。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ |①6|②_|___|___|③_|■■ |___|■■___|■■④_|___| |■■⑤_|■■⑥_|___|■■ |⑦_|___|⑧_|___|***|___| |■■___|___|■■___| |___| |___| さて、第五行に、横に二桁のマスがあります。状況からしてここには"カギ10"しか入れません。 しかしここでおかしなことが起こります。 村の人口（横１）は６００００～６９９９９人、 一方、縦12の情報によれば１世帯あたりに住む人数は１０人以下。 世帯数（横10）が２桁ではつじつまが合いません！！！ つまり、（五，Ⅱ）に入るカギの数字が存在しないのです！ ようやく、"カギ１"が（一，Ⅰ）にある盤面の説が否定されました。
***では最初に戻ります*** "カギ１"は（一，Ⅱ）にあることが確定。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ |■■①_|___|___|___|___|■■___| |___|___|___ |___| |___|■■___| |___| （二，Ⅰ）は縦にも横にも白マスが続くので、ここは縦横にカギをもつ"６"に決まります。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ |■■①_|___|___|___|___|■■___| |⑥_|___|■■___| |___| |___|■■___| |■■___| |___| カギができるはずの（一，Ⅳ）には"２"、横カギである"４"は（一，Ⅷ）に容易に埋まります。 Ⅸ列がなければ"５"が存在できません。"５"は（一，Ⅸ）です。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ |■■①_|___|②_|___|___|■■④_|⑤_| |⑥_|___|■■___|***|***|___|■■___| |___|■■___|■■___| |___|___| |■■___|___|___| |___| ※図の灰色部分はどちらかが黒マスです。カギ"３"の位置によって決まりますがまだわかりません。 ※（三，Ⅸ）が白マスなのは、白マスが分断されないためです。 さて、ここまで来ると行の数が知りたくなりますね。わかるんです！ 縦１の一の位がまさに知りたい「盤面の行の数」ですが、これ（二，Ⅱ）は"横６"の一の位でもあります。 横６は・・・盤面にある全てのマスの数 つまり、縦１の各桁の積が横６になるので、 ９×◆＝●◆ といういたって簡単な覆面算になります。 これを解くと ◆＝５，●＝４ 。行の数が５だとわかりました！ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ |■■①_|___|②_|___|___|■■④_|⑤_| |⑥_|___|■■___|***|***|___|■■___| |___|■■___|■■___| |___|___| |■■___|___|___| | |___| | 白マスが分断されないよう（四，Ⅲ）、（五，Ⅱ）を白マスにすると、（四，Ⅱ）には縦横にカギができるのでここは"13"です。 また、黒マスの位置によってカギ"７"は（二，Ⅳ）か（二，Ⅵ）です。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ |■■①_|___|②_|___|___|■■④_|⑤_| |⑥_|___|■■___|***|***|___|■■___| |___|■■___|■■___| |___|___| |■■⑬_|___|___| | |___| | 第二行、第三行に、縦８、縦９、横10、縦11，縦12が入るはずです。 縦のカギができる条件を確認しましょう。第二、三行の話なので、そのマスの上には黒マスがなくてはなりません。（これは必要条件） 縦６のマスを除く第二、三行のマスのうち、黒マスが上にあるのは４つ。 （二，Ⅶ）、（三，Ⅲ）、（三，ⅤまたはⅥ）、（三，Ⅷ） あるべきカギ"８"、"９"、"11"、"12"が過不足なくあるので、順に入れていけば良いです。 "11"の位置には困りますね。しかし"横10"がどこかにあるはずだと気付けば簡単。 "10"を（三，Ⅴ）に、"11"を（三，Ⅵ）において一件落着です。第二行の黒マスの位置も決定です。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ |■■①9|___|②_|③_|___|■■④_|⑤_| |⑥4|__5|■■⑦_|___|■■⑧_|■■___| |___|■■⑨_|■■⑩_|⑪_|___|⑫_|___| |■■⑬_|___|___| |___| |___| | |___|___| |___| | ラストスパート！一気に推理していきましょう。 ・縦のカギを持つ"14"は（四，Ⅳ）にしか存在しえない ・「小中学生の数＋２」である縦11は３桁以下なので横13（中学生の数）も３桁以下 →（四，Ⅴ）は黒マス ・縦６によると縦８の数字は ４▲×１５ なので ３桁 →（五，Ⅶ）は黒マス →（四，Ⅶ）が白マスになる →（四，Ⅵ）がカギ"15"に決まる。 ・横15は「小学生の数」なので３桁以下 →（四，Ⅸ）が黒マス ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ |■■①9|___|②_|③_|___|■■④_|⑤_| |⑥4|__5|■■⑦_|___|■■⑧_|■■___| |___|■■⑨_|■■⑩_|⑪_|___|⑫_|___| |■■⑬_|___|⑭_|■■⑮_|___|___|■■ |⑯_|___| |___| ■■⑱_|___| あとはカギ"17"を入れてあげるだけです。白マスは分断されてはいけないので、位置候補はただ一つ。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ |■■①9|___|②_|③_|___|■■④_|⑤_| |⑥4|__5|■■⑦_|___|■■⑧_|■■___| |___|■■⑨_|■■⑩_|⑪_|___|⑫_|___| |■■⑬_|___|⑭_|■■⑮_|___|___|■■ |⑯_|___|■■⑰_|___|___|■■⑱_|___| 盤面が完成しました。 |
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