微妙なささやきをかましてみる

引っ掛けかな〜

ということでしょうか??素直すぎるかな。

1/1.1/2.1/3.1/4.1/5...1以上のほうがやっぱりおおいのかなやっぱちがう0から1の数は実数の数と同じらしい

とりあえず…囁いてみましょう。
…ナス狙いを。

数直線なんて忘れてしまいました。中学生までは数学得意だったけど……

なんと言うくだらない答えを

こうだと思います。

よかった、これで正解でしたか
星１つだったので逆に心配しましたよ
正解しないと怒られるような仕事もしてるからほっとしました・・・
たぶん、糸口は皆さんつかまれてると思うのです。丁寧に、丁寧に・・・

囁きはバ回答ですのでお気になさらず・・・

こうですかね。

とことん話しつめていったら、この議題だけで新スレが立ちそうな…
数学専攻の方がいればいいんですけど…

囁きは、とりあえず、思い浮かんだものをいれてみました。
でも、これはありなのでしょうか？

難しいです。
どうですか？

一応数学専攻でした だから思いついたというのもあるのか？
＃応用系でしたので、若干専門外ではあるのですが・・・
ということで、ささやきをひとつ。

前回の解答が「後一歩」ということで、逆にわからなくなりました;
その挙句、回りくどく言ってるだけで案外普通の答えに・・
正解から後退しちゃいましたかね。。^^;

「多くの数」の考え方次第ですね。

小学校で習ったはず・・・ですか？
「ゆとり教育」世代はどうだろう・・・

あれ？説明している内に訳が分からなくなってきたぞ？
もはやこれは小学生には分からない説明・・・

↓言いたい事が分かってくれれば・・・

全く･･･わかんなかったり

ヒントというか考え方の指針のようなものを。一応反転。

この問題ではそれぞれの範囲に含まれている数を数え上げる必要はありません。
単にどちらが多いかを比べればいいだけです。
まぁ「どうやって比べるか？」が問題になってくるわけですが・・・

危うく無限地獄にはまるところでした。

全くわからない

いや、なんか違う気がする。。。。。

こうですか？

こんな・・むずかしいのは・・・わかりません。。^^；

29日の夜くらいに解答発表します

数直線って何でしたっけ？
私の想像が間違いでなければ・・・・

遠ざかった感があります

予告通り解説です。

0以上1以下の部分と1以上の部分、どっちにより多くの数が含まれているかを比べるわけですが、どちらにも無数に数が含まれています。しかし今回は数を数え上げる必要は無く、単に比べるだけで十分です。

なので、0以上1以下の部分と1以上の部分から1つずつ数を出してペアを組ませましょう。この時あぶれることなくペアを組むことが出来たら、0以上1以下の部分と1以上の部分には同じだけ数が含まれていて、あぶれてしまったら、あぶれた方がより多い数を含んでいると言えます。

ではどうやってペアを組ませるか、が問題ですが、今回は逆数でペアを組ませましょう。例えば「2」とペアを組むのは「1/2」、「105.48」とペアを組むのは「1/105.48」と言った具合です。
このようにペアを組ませると、1以上の部分からどんな数を出してこようが0以上1以下の部分からペアの相手を探すことが出来ます。1以上のどんな数Xを選んでも0以上1以下の数1/Xが存在するわけですからね。

では逆はどうでしょう。0以上1以下のどんな数Xを選んでも1以上の数1/Xが存在する・・・とは言えません。何故なら0以上1以下は0を含んでいるからです。1/0はいろいろまずいですからね。（どうまずいかは皆さんで調べてください！）

結論！
0以上1以下の部分と1以上の部分は、0を含んでいるだけ0以上1以下の部分の方が数を多く含んでいます。

ちょっと直感と反した答えかもしれませんが、質問などあればよろしくお願いします。

予想通り、それが正解と言われても素直に納得できなかった…。

ペアを組ませて対応を調べるなら、例えばxとx+1のペアで考えてみたらどうですか？
この場合0は1とペアになり、0.5は1.5とペアになり…とやっていくと、
0以上1以下の部分からどんな数を出してこようが、1以上の部分とのペアの相手は必ず見つかりますが、逆はそうなりません。
こういう考え方をしていくと、ペアの組ませ方次第で、数を多く含んでいるのは0以上1以下の部分とも、1以上の部分とも言えてしまうのでは…？

僕が思っていたのは、
「例えば∞と∞＋１なら∞＋１の方が大きいということはないのであって、どちらも無限に大きい数である以上、大小の区別をつけること自体が不可能なんでは？」
ということです。

＞吉近さん
ご意見ありがとうございます。

確かにおっしゃるとおり、xとx+1のペアで考ると1以上の部分が多くの数を含んでいると言えるでしょう。
でもそれは解説のやり方を否定する方法ではありませんよね？
何が言いたいかというと、今回の解説で1以上の部分からどんな数を出してこようが0以上1以下の部分からペアの相手を探すことが出来ることを示しました。
このように1度ある方法で「出来る」ことを示してしまえば、別の方法でできなかったからといって前の手法が間違っていることの証明にはなりません。

それと大雑把に言ってしまえば、無限大の間にも大小関係のようなものはあります。
例えば「自然数」と「整数」はどちらも無限に存在します。しかし負の部分を考えると、明らかに整数の方が多い数を含んでいます。無限大なのに数を多く含んでいるというのも語弊がありそうですが・・・

無限大についての詳しい話は高校の数学で学びますが、今までやってきたことと直感的に違う部分があるので困惑しやすいんですよね。

＞Ｊ・Ｊａｃｋさん
いろいろと誤謬があるので、指摘しておきます。
１点目。

＞1度ある方法で「出来る」ことを示してしまえば、別の方法でできなかったからといって前の手法が間違っていることの証明にはなりません。

確かにそうなんですが、今回は吉近さんは「できない」ことを示したのではありません。
Ｊ・Ｊａｃｋさんは「（１以上）→（０以上１以下）という対応を作ることができる（ただし、この対応では逆向きはできない）」ことを示したのに対して吉近さんは「（１以上）←（０以上１以下）という対応を作ることができる（ただし、この対応では逆向きはできない）」ことを示した、つまりおふたりとも「できる」ことを示しているんです。ただし、「できる」の向きが違う。
そして（ここがポイントです）お２人とも「逆はできない」ことを言っているんです！
ですから、お二人の言い分は矛盾していません。

つまり、こういうことです。
今後、書きにくいので、「０以上１以下の数」の集まりをＡ、「１以上の数」の集まりをＢ、とかくことにします。
Ｊ・Ｊａｃｋさんの言うように、「逆数」を取ることで、Ｂの要素から必ずＡの要素を探すことができます。逆のことはとりあえず置いとけば
（Ｂの要素の数）≦（Ａの要素の数）
ということ。（逆が「逆数」では無理だからといって、「同じかもしれない」可能性は否定できませんよね？）
次に、吉近さんのいうように、「１目盛りずらす」という操作で、Ａの要素から必ずＢの要素を探すことができます。逆のことをとりあえず置いとけば
（Ａの要素の数）≦（Ｂの要素の数）
ということ。
さて・・この二つがともに間違っていないとすれば・・・
結論は
（Ａの要素の数）＝（Ｂの要素の数）
しかないんですよね。

続いて２点目。

＞「自然数」と「整数」はどちらも無限に存在します。しかし負の部分を考えると、明らかに整数の方が多い数を含んでいます。

これは誤りです。実は「自然数」と「整数」は同じ数だけあります。
これは、このような対応を作ればいいです。
・ある自然数ｎに対して、
ｎが偶数なら、ｎ＝２ｋ（ｋは０以上の整数）とかけるので、「ｎ→−ｋ」
ｎが奇数なら、ｎ＝２ｋ−１（今度はｋは正の整数、０は含まない）とかけるので、「ｎ→ｋ」
とする。逆に
・ある整数ｘに対して
ｘが０または負ならば「ｘ→−２ｘ」
ｘが正ならば「ｘ→２ｘ−１」
とする。
この対応で、きちんと「自然数」と「整数」が１対１にモレなく重なりなく対応させられます。

でも、「濃さの違う無限大」があるのは確かです。
たとえば、「自然数」と「実数」では「実数」のほうが「濃い」（要素の数が多い）ことが知られています。
ただ、これは説明すると長くなるので
【対角線論法】《検索！》
ということでお願いします（笑）

＞（T)さん
大変丁寧な書き込みありがとうございます。

そうですね、ちょっと誤解していたようです。
≦を2回使って＝を示す方法はわかりやすいですね。それを使って解説の中身を説明すると、次のようになりますか。

「０より大きく１以下の数」の集まりをＡ、「１以上の数」の集まりをＢとします。
逆数を取るとＢの要素から必ずＡの要素を探すことができ、またＡの要素から必ずＢの要素を探すこともできます。
このことから（Ｂの要素の数）≦（Ａの要素の数）と（Ａの要素の数）≦（Ｂの要素の数）が成り立ちます。
よって（Ａの要素の数）＝（Ｂの要素の数）・・・（１）である。
ここで「０以上１以下の数」の集まりをＡ’としましょう。
するとＡ’はＡと違って0を含んでいるため、（Ａの要素の数）＜（Ａ’の要素の数）です。
これと（１）を合わせて考えると（Ａ’の要素の数）＞（Ａの要素の数）＝（Ｂの要素の数）となり、結論として０以上１以下の数の方が多いと言える。


＞実は「自然数」と「整数」は同じ数だけあります。
・・・そうでした。整数じゃなくて実数でした。

＞Ｊ・Ｊａｃｋさん
あれ？
わたしはさっきのレスで、直接
（０以上１以下の要素の数）＝（１以上の要素の数）
を示しているのですが・・・

実は、これらの証明をあわせると
「０以上１以下の数」＝「０より大きく１以下の数」
なんてことになるんです。
まさに、吉近さんのいったように
∞＝∞＋１
となる。おもしろいですね。

結局むつかしい話になってしまいました。
やはり問題選択がまずかったと反省・・・