(4-4)×4=0
(4÷4)＾4=1
4！÷4-4=2
4-4÷4=3
4+4-4=4
4+4÷4=5
4+4-√4=6
4×4÷√4=8
(4!-4)÷√4=10

７と９はわからなかったです

7の方が簡単だと思いますよ。
9が難しいので★４個なのです。

(4!+4)/4=7 or 4!!-4/4=7

4!!+4/4=9

logを用いていいのであれば,,,と無粋なことを考えたりもしましたが

「!!」は想定していませんでした。
無粋な方が正解です。

!を重ねて書けば!!になりますので、!が使えるのに!!が使えない、
というのは無理がありますよね。

そこで、問題を修正しました。

修正点1：作る数を0〜20としました。
修正点2：logを使えない問題1と、使える問題2を分けました。
修正点3：問題1では、!!, !!!, !!!!, …を使えることを明記しました。

問題1，問題2のどちらから答えていただいても結構です。

では、どうぞ。

【問題1】
12までは簡単ですね。

(4-4)×4=0
(4÷4)＾4=1
4！÷4-4=2
4-4÷4=3
4+4-4=4
4+4÷4=5
4+4-√4=6
(4!+4)/4=7
4×4÷√4=8
4!!+4/4=9
(4!-4)÷√4=10
44/4=11
4+4+4=12

さて、13はどうしますか?

多重階乗はけっこう強力です。
100までは作れました。

この問題が終わったら、「100まで作ろう」もやってみよう。

やっと出来たぁｗ
とりあえず13と14を。
{(4!!)!!!＋4!}/4!!=13
=(8*5*2 + 4*3*2*1)/*2
=(2*5 + 3*1)
=10+3=13

{(4!!)!!!!+4!}/4=14
(8*4 + 4*3*2*1)/4
=(8 + 3*2*1)
=8+6=14

すばらしい。

ちなみに、私はこんなのを考えてました。

(4!+√4)÷√4=13
4!!+4+√4=14

さて、次は15です。

√を使えたのか…使わずに頑張っていた僕は一体…orz
偶数は比較的楽。奇数は…難関ですね。
(4!!)!!!!=32,(4!!)!!!=80を使って…

{(4!!)!!!!-√4}÷√4=15
4×√4×√4=16
{(4!!)!!!!+√4}÷√4=17
4!-4-√4＝18
{(4!!)!!!-4}÷4=19
4×4+4=20
{(4!!)!!!+4}÷4=21
44÷√4=22
4!-4÷4-23
4!+4-4=24
4!+4÷4=25
4!+4÷√4=26

では、27以降をお願いします

では、問題1は終わったことなので、一気にこのあたりまで…

4!+4!/4!!=27
4!+√4+√4=28
(4!!)!!!!-4!/4!!=29
(4!!)!!!!-4+√4=30
(4!!)!!!!-4/4=31
(4!!)!!!!+4-4=32
(4!!)!!!!+4/4=33
(4!!)!!!!+4-√4=34
(4!!)!!!!+4!/4!!=35
(4!!)!!!!+√4+√4=36
(√((4!)!!!!!!!!!!!!!!!!!!))!!!!!!!!!+4/4=37
(√((4!)!!!!!!!!!!!!!!!!!!))!!!!!!!!!+4-√4=38
(√((4!)!!!!!!!!!!!!!!!!!!))!!!!!!!!!+4!/4!!=39
44-√4-√4=40
44-4!/4!!=41
44-√4=42
44-4/4=43
44+4-4=44
44+4/4=45
44+4-√4=46
44+4!/4!!=47
44+√4+√4=48

かなり一気に放出してしまいましたが、それというのも、
なんだか

　2つの4と四則演算と多重階乗で、あらゆる自然数を
　あらわせる

っぽいことに気がつきました。

さて、【問題2】はどうですか？

【問題2】
　３つの４で0〜20の整数を作ってください。
　使える記号は以下に限ります。
　＋−×÷（）√ ^ log
0=(4-√4)*√4
1=(√4+√4)/4
2=√4*4/4
3=4-(4/4)
4=4*(4/4)
5=4+(4/4)
6=√4+(√4+√4)
7=
8=4*4/√4
9=
10=4+4+√4
11=
12=4*4-4
13=
14=4*4-√4
15=
16=4^(4-√4)
17=
18=4*4+√4
19=
20=4*4+4
奇数がわからない。階乗使ったらできるのにね。

上の方にありますが、かなり「無粋な」答えになります。

分かった人は書いてください。