2の一億乗････

4の5000万乗
8の2500万乗
16の1250万乗
32の625万乗
64の312万5000乗
128の156万2500乗
256の78万1250乗
512の39万625乗･･･

logの具体的な数は与えられてない、という設定でしょうか？それとも各自で調べてよろしいのでしょうか？

･･･と下四桁の計算ですよね。log利用の場もないか。
合同式使って下四桁をひたすら計算ですかね。

1024の19万5312乗*512
2048の9万7656乗*512
4096の4万8828乗*512
8192の2万4414乗*512
16384の1万2207乗*512
32768の6103乗*512*16384
65536の3051乗*512*16384*32768
131072の1525乗*512*16384*32768*65536
262144の762乗*512*16384*32768*65536*131072
524288の381乗*512*16384*32768*65536*131072
1048576の190乗*512*16384*32768*65536*131072*524288
2097152の95乗*512*16384*32768*65536*131072*524288
4194304の47乗*512*16384*32768*65536*131072*524288*2097152



こうみていると下一桁は486248624862と循環していますなぁ。

はい、確かに下１桁は
２４８６で循環します。
下４桁もあるサイクルで循環します。
それを探すと分かりますよ。
この文のパスワードが答えになっています。

確か下四桁は4*(5^3)=500回ごとに循環していたはず…。
よって2^(10^9)≡2^500(mod 10000)

2^500
＝3273390607896141870013189696827599152216642046043064789483291368096133796404
674554883270092325904157150886684127560071009217256545885393053328527589376
(プログラムを組んで求めてみました。)

下二桁は２０回、下三桁は１００回で循環します。

とにかく計算です！！

9376^2 = 87909376

たしかに循環している。

すいません、答えを間違えていました。
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膨大すぎて計算できない
２の１億乗。18446744073709551616の何乗かな

１の位、１０の位、１００と１０００の位で分けると
割と簡単（？）ですよ