１１個ですかね

ふうさんと同意見です。

正解です。皆さん流石です

解説は後日…

では解説を。。あまりまとまってないのですがご容赦を…

1＝1×2÷2
1＋2＝2×3÷2
1＋2＋3＝3×4÷2
…を利用します。

すると数列の第n項は
(1×2÷2)×(2×3÷2)×(3×4÷2)×…×(n×(n+1)÷2)
＝1×2×2×3×3×4×4×…×n×n×(n+1)÷2^n
＝(1×2×3×4×…×n)^2×(n+1)÷2^n

それから、
・平方数に平方数を掛けても平方数
・平方数を平方数で割っても平方数
・明らかに(1×2×3×4×…×n)^2は平方数

ですので
(n+1)÷2^nが平方数かどうかを調べれば良いことになります。

・nが偶数の場合
2^nが平方数になるので
n+1が平方数のときを調べます。
nが偶数でn+1が平方数であるような1以上100以下のnは
3^2−1＝8、5^2−1＝24、7^2−1＝48、9^2−1＝80
の4つ。

・nが奇数の場合
2^(n-1)が平方数になるので
(n+1)÷2が平方数のときを調べます。
このようなnは
1^2×2−1＝1、2^2×2−1＝7、3^2×2−1＝17、4^2×2−1＝31、5^2×2−1＝49、
6^2×2−1＝71、7^2×2−1＝97
の7つ。

よって4＋7＝11[通り]
ではロックします。