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1,3,18,180,…
難易度:
Holly
2006/08/29 14:53
1,1×(1+2),1×(1+2)×(1+2+3),1×(1+2)×(1+2+3)×(1+2+3+4),…という数列の
第1項から第100項までに平方数はいくつあるでしょう。
解答は返信中にあるかも。答えがわかったり、誰かに解いて欲しいときは右上の
から教えてね。
回答募集は終了しました。
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No.1
ふう
2006/08/29 20:38
11個ですかね
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No.2
PDJ
2006/08/29 21:43
ふうさんと同意見です。
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No.3
Holly
2006/08/30 13:50
正解です。皆さん流石です
解説は後日…
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▽
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No.4
Holly
2006/09/04 20:41
では解説を。。あまりまとまってないのですがご容赦を…
1=1×2÷2
1+2=2×3÷2
1+2+3=3×4÷2
…を利用します。
すると数列の第n項は
(1×2÷2)×(2×3÷2)×(3×4÷2)×…×(n×(n+1)÷2)
=1×2×2×3×3×4×4×…×n×n×(n+1)÷2^n
=(1×2×3×4×…×n)^2×(n+1)÷2^n
それから、
・平方数に平方数を掛けても平方数
・平方数を平方数で割っても平方数
・明らかに(1×2×3×4×…×n)^2は平方数
ですので
(n+1)÷2^nが平方数かどうかを調べれば良いことになります。
・nが偶数の場合
2^nが平方数になるので
n+1が平方数のときを調べます。
nが偶数でn+1が平方数であるような1以上100以下のnは
3^2−1=8、5^2−1=24、7^2−1=48、9^2−1=80
の4つ。
・nが奇数の場合
2^(n-1)が平方数になるので
(n+1)÷2が平方数のときを調べます。
このようなnは
1^2×2−1=1、2^2×2−1=7、3^2×2−1=17、4^2×2−1=31、5^2×2−1=49、
6^2×2−1=71、7^2×2−1=97
の7つ。
よって4+7=11[通り]
ではロックします。
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