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積と和
難易度:
ゆぅ
2006/08/09 16:42
積が和の12倍に等しいような、相異なる3つの正整数の組は何通りあるか。ただし、「3と6と18」と「6と3と18」のように順番を並び替えただけの組は同じものとみなし、1通りと数える。
解答は返信中にあるかも。答えがわかったり、誰かに解いて欲しいときは右上の
から教えてね。
回答募集は終了しました。
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No.1
ラティウス
2006/08/10 06:22
これって2005年度JMO/JJMOの問題ではないですか?(実際にやった人←
)
確かa≧b≧c≧で、aの数を決めて順に試していくのでは…?
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No.2
ゅう
2006/08/10 08:18
細かい解き方も指南願います☆
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No.3
ラティウス
2006/08/10 11:25
3数をa,b,cとし、a≦b≦cとなるように選ぶ。
また、等式を変形させ、bc=(12/a)(b+c)+12としておく。この時点で考えられるaの値は、1,2,3,4,6,12のいずれかである。
・a=1の場合、bc=12(b+c)+12となり、変形させると(b-12)(c-12)=156となる。b≦cとなる(b,c)の組み合わせのうち上記の等式を成り立たせるものは、(13,168)(14,90)(15,64)(16,51)(18,38)(30,31)の6つである。
・a=2の場合、同様に(b-6)(c-6)=48となる。同様に上記の等式が成り立つのは、(7,54)(8,30)(9,22)(10,18)(12,14)の5通りである。
・a=3の場合、(b-4)(c-4)=28となり、(5,32)(6,18)(8,11)の3通りである。
・a=4の場合、(b-3)(c-3)=21となり、(4,24)(6,10)の2通りである。
・a=6の場合、(b-2)(c-2)=16となる。(3,18)(4,10)(6,6)があるが、a≦b≦cを満たすものは(6,6)だけなので1通り。
・a=12の場合、(b-1)(c-1)=13となり、(2,14)があるが、これは題意を満たさない。
よって6+5+3+2+1=17通りある。
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No.4
はじめまして
2006/08/13 12:25
はじめまして。たまたま目にとまったので書き込んでみました。数学を始めてまだあまり日が経ってないので恐縮ですが、“相異なる”となると(a,b,c)=(6,6,6)はどうなのかなと思ってしまいました…数学をかじったばかりなのに生意気言ってスイマセン
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No.5
はじめましてもといtamaraです。
2006/08/14 11:26
生意気ついでに答えを作ってみました。
a>b>c≧1 とすると、
3a>a+b+c ⇔ 2a>b+c ⇔ 2>(b+c)/a…@
また、abc=12(a+b+c) ⇔ bc=12(b+c)/a+12…A
@,Aより、
bc<36
36>bc>c^2 ∴1≦c<6
。) c=1のとき ab=12(a+b)+12 とでき、因数分解して、 (a-12)(b-12)=156
156=2^2*3*13より、このときの(a,b)の組は、
(3*2*2)/2=6 ∴6通り
「)c=2のとき ab=6(a+b)+12 ⇔ (a-6)(b-6)=48
48=2^4*3より、このときの(a,b)の組は、
(5*2)/2=5 ∴5通り
」)c=3のとき ab=4(a+b)+12 ⇔ (a-4)(b-4)=28
28=2^2*7より、このときの(a,b)の組は、
(3*2)/2=3 ∴3通り
、)c=4のとき ab=3(a+b)+12 ⇔ (a-3)(b-3)=21
21=3*7より、このときの(a,b)の組は、
(2*2)/2=2 ∴2通り
・)c=5のとき
5ab=12(a+b)+60 ⇔ 5b<24+60/a ⇔ 5b<32 (a≧7) ⇔ b=6 ⇔ 30a=12a+132 ⇔ a=11/3 より不適
。)〜・)より 6+5+3+2=16通り となる。
c=5のときの扱いがちょっと怪しいかもしれません…
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No.6
一般人
2006/08/14 13:28
入ったばかりでみなさんと一緒に勉強しようと思うのですが、2^2とかの^ってどういう意味なんですか?よかったら教えてください。
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No.7
tamara
2006/08/14 16:50
確か、累乗の意味です。
一応、わたしはその意味で使ってました。
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No.8
lamb
2006/08/14 17:59
>tamaraさん
どうもはじめまして。
> a>b>c≧1
上の条件より、「c=4のとき」 については (a,b,c)=(10,6,4)の1通りになるはずです。
(∵(a,b,c)=(24,4,4,)が除外される。)
---追記---
もう一点、
>・)c=5のとき
> 5b<24+60/a ⇔ 5b<32 (a≧7)
上記変化が分かりづらいため、
C=5のとき、
bc<36、b>c より 5<b<36/5 ∴b=6,7
@b=6 ⇒ 30a=12a+132より a=22/3 よって不適。
Ab=7 ⇒ 35a=12a+144より a=144/23 よって不適。
くらいでまとめられた方がベターかもしれません。
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No.9
tamara
2006/08/14 17:56
>lambさん
どうもはじめまして。
ばっちりそのとおりですね。自分で言ってたのに何をしてるんだか…ちゃんと求めないとダメですね(ToT)
そうすると、15通りですか。
余談ですけど、返信いただくとうれしいですね。
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No.10
ゅう
2006/08/22 22:59
皆さんどうもありがとうございました。実を言うと、学校で先生が僕達にクイズとしてこの問題を出したんです。クラスのみんなで考えたのですが、難しかったので皆さんに頼りました。結果、こうしてお返事いただけた事は大変有り難く思っています。皆さんどうもありがとうございました('-^*)/
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