これって2005年度ＪＭＯ／ＪＪＭＯの問題ではないですか？（実際にやった人← ）
確かa≧b≧c≧で、aの数を決めて順に試していくのでは…？

細かい解き方も指南願います☆

3数をa,b,cとし、a≦b≦cとなるように選ぶ。
また、等式を変形させ、bc=(12/a)(b+c)+12としておく。この時点で考えられるaの値は、1,2,3,4,6,12のいずれかである。

・a=1の場合、bc=12(b+c)+12となり、変形させると(b-12)(c-12)=156となる。b≦cとなる(b,c)の組み合わせのうち上記の等式を成り立たせるものは、(13,168)(14,90)(15,64)(16,51)(18,38)(30,31)の6つである。
・a=2の場合、同様に(b-6)(c-6)=48となる。同様に上記の等式が成り立つのは、(7,54)(8,30)(9,22)(10,18)(12,14)の5通りである。
・a=3の場合、(b-4)(c-4)=28となり、(5,32)(6,18)(8,11)の3通りである。
・a=4の場合、(b-3)(c-3)=21となり、(4,24)(6,10)の2通りである。
・a=6の場合、(b-2)(c-2)=16となる。(3,18)(4,10)(6,6)があるが、a≦b≦cを満たすものは(6,6)だけなので1通り。
・a=12の場合、(b-1)(c-1)=13となり、(2,14)があるが、これは題意を満たさない。

よって6+5+3+2+1=17通りある。

はじめまして。たまたま目にとまったので書き込んでみました。数学を始めてまだあまり日が経ってないので恐縮ですが、“相異なる”となると（a,b,c）=（６，６，６）はどうなのかなと思ってしまいました…数学をかじったばかりなのに生意気言ってスイマセン

生意気ついでに答えを作ってみました。
a＞b＞c≧1 とすると、
3a＞a+b+c ⇔ 2a＞b+c ⇔ 2＞(b+c)/a…�@
また、abc＝12(a+b+c) ⇔ bc＝12(b+c)/a+12…�A
�@，�Aより、
bc＜36
36＞bc＞c^2 ∴1≦c＜6
｡) c＝1のとき　ab＝12(a+b)+12 とでき、因数分解して、　(a-12)(b-12)＝156
156＝2^2*3*13より、このときの(a,b)の組は、
(3*2*2)/2＝6 ∴６通り
｢)c＝2のとき　ab＝6(a+b)+12 ⇔ (a-6)(b-6)＝48
48＝2^4*3より、このときの(a,b)の組は、
(5*2)/2＝5 ∴５通り
｣)c＝3のとき　ab＝4(a+b)+12 ⇔ (a-4)(b-4)＝28
28＝2^2*7より、このときの(a,b)の組は、
(3*2)/2＝3 ∴３通り
､)c＝4のとき　ab＝3(a+b)+12 ⇔ (a-3)(b-3)＝21
21＝3*7より、このときの(a,b)の組は、
(2*2)/2＝2 ∴２通り
･)c＝5のとき　
5ab＝12(a+b)+60 ⇔ 5b＜24+60/a ⇔ 5b＜32 (a≧7) ⇔ b＝6 ⇔ 30a＝12a+132 ⇔ a＝11/3 より不適
｡)〜･)より　６+５+３+２=１６通り となる。
c＝5のときの扱いがちょっと怪しいかもしれません…

入ったばかりでみなさんと一緒に勉強しようと思うのですが、２＾２とかの＾ってどういう意味なんですか？よかったら教えてください。

確か、累乗の意味です。
一応、わたしはその意味で使ってました。

＞tamaraさん
どうもはじめまして。

＞ a＞b＞c≧1
上の条件より、「c＝4のとき」 については (a,b,c)＝(10,6,4)の1通りになるはずです。
(∵(a,b,c)＝(24,4,4,)が除外される。)

---追記---
もう一点、
＞･)c＝5のとき　
＞ 5b＜24+60/a ⇔ 5b＜32 (a≧7)

上記変化が分かりづらいため、
C=5のとき、
bc<36、b>c　より 5<b<36/5　∴b=6,7
�@b=6　⇒ 30a=12a+132より　a=22/3 よって不適。
�Ab=7　⇒ 35a=12a+144より　a=144/23 よって不適。
くらいでまとめられた方がベターかもしれません。

＞lambさん
どうもはじめまして。
ばっちりそのとおりですね。自分で言ってたのに何をしてるんだか…ちゃんと求めないとﾀﾞﾒですね(ToT)
そうすると、１５通りですか。
余談ですけど、返信いただくとうれしいですね。

皆さんどうもありがとうございました。実を言うと、学校で先生が僕達にクイズとしてこの問題を出したんです。クラスのみんなで考えたのですが、難しかったので皆さんに頼りました。結果、こうしてお返事いただけた事は大変有り難く思っています。皆さんどうもありがとうございました('-^*)/