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正方形と立方体
難易度:
海女
2006/08/15 16:30
問題は終わりました。
解答は返信中にあるかも。答えがわかったり、誰かに解いて欲しいときは右上の
から教えてね。
回答募集は終了しました。
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No.1
PDJ
2006/07/21 21:16
(1)
まず、一般式から
小正方形をa個並べると100cmになるとする。(aは自然数)
また、小正方形をb個並べると、大正方形の一辺と等しくなるとする。(a>b)
小正方形だけで埋めるとするとa^2個の正方形が必要。
その中にたとえば1個の大正方形を置くとすると、小正方形はb^2個減るので、
正方形の総数はa^2-b^2+1個となる。
n個(nは自然数)の大正方形を置くとすると、小正方形はn*b^2減るので、
正方形の総数はa^2-n*b^2+n個となる。
(bは自然数のほうがわかりやすいが、n=p*q(p,qは自然数)と表せる時、b*pおよびb*qが自然数であれば、
配置は不可能とはいえない。)
以上より、a^2-n*b^2+n=101を満たすものを探せばよい。
n=1のとき (bは自然数となります)
a^2-b^2+1=101
(a-b)(a+b)=100
これを満たすのは、a=26、b=24のとき
この時、小正方形の一辺は、100/26=50/13(cm)
大正方形の一辺は、24*50/13=1200/13(cm)<100
題意を満たす。
この時小100個、大1個
n=2, 3は、考え中
n=4のとき
bが自然数として
a^2-4b^2+4=101
(a-2b)(a+2b)=97
これを満たすのは、a=49、b=24のとき
この時、小正方形の一辺は、100/49(cm)
大正方形の一辺は、24*100/49(cm)>25 (大正方形の一辺は100/4(cm)未満でなければならない)
題意を満たさない。
他の場合は考え中
とういうわけで、今わかっているのは、
一組 小50/13(cm)100個、大1200/13(cm)1個
不十分ですみません。
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No.2
SAN
2006/07/21 23:15
(1)↑「小100個、大1個」 あっ!これ、いただきます。(勝手に失礼!)
この配置パターンのうち、大1個が中央にあり、その周囲を小25×4(=100)個が取り囲む図を考えると…
大9個で出来る「大きな正方形」の周囲を小正方形23×4(=92)個で囲む図が(ぽわぽわ〜ん)浮かんで
「小92個、大9個」このとき、それぞれの一辺は、小…100/24(p),大…(100/24)×22/3(p)
以下同様に(?)、
「小19×4(=76)個、大25個」 、小…100/20(p),大…(100/20)×18/5(p)
「小13×4(=52)個、大49個」 、小…100/14(p),大…(100/14)×12/7(p)
「小5×4(=20)個、大81個」 、小?…100/6(p),大?…(100/6)×4/9(p)
( あれっ…? 最後の「20個と81個」は20個の方が大きくなっちゃった )
この考え(同じ大きさの正方形を合わせて出来る「大きな正方形」の周囲を別の大きさの正方形が囲む)では
その他の場合を検証できないってことは分かっていますが、「こんな考え方もあるかな」と思いついたので、ちょっと
書いてみました。あとはお任せします。失礼しました。(ダダダダッ…)
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No.3
PDJ
2006/07/22 00:19
訂正です。n=4のときもOKでした。
大正方形の一辺は100/2(cm)未満でなければならない のまちがいでした。
これを満たすのは、a=49、b=24のとき
この時、小正方形の一辺は、100/49(cm)
大正方形の一辺は、24*100/49(cm)<50
題意を満たす。
この時、小97個、大4個
ついでにn=9の時
a=24、b=22/3で可能
小は100/24=25/6(cm)で、92個
大は(25/6)*(22/3)=275/9(cm)<100/3で、9個
とういうわけで、今わかっているのは、
一組め 小50/13(cm)100個、大1200/13(cm)1個
二組め 小100/49(cm)97個、大2400/49(cm)4個
三組め 小25/6(cm)92個、大275/9(cm)9個
他の場合はまだ考え中
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No.4
SAN
2006/07/22 01:02
↑「小97個、大4個」の配置は…あっ!なるほど。…ということは(ぽわぽわ〜ん)また浮かんできました。
「大きな正方形」(No.2)の周囲ではなく、2辺(縦と横)にL字形に「小さい正方形」を並べて配置した図が…
「小85個、大16個」→ 小 … 100/43(p),大 … (100/43)×42/4(p)
「小65個、大36個」→ 小 … 100/33(p),大 … (100/33)×32/6(p)
「小37個、大64個」→ 小 … 100/19(p),大 … (100/19)×18/8(p)
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No.5
PDJ
2006/07/22 20:03
nが平方数の場合のまとめ
n=1 小50/13(cm)100個、大1200/13(cm)1個
n=4 小100/49(cm)97個、大2400/49(cm)4個
n=9 小25/6(cm)92個、大275/9(cm)9個
n=16 小100/49(cm)85個、大1200/49(cm)16個
n=25 小5(cm)76個、大18(cm)25個
n=36 小25/3(cm)65個、大175/18(cm)36個
n=49 小50/7(cm)52個、大600/49(cm)49個
n=64 小100/19(cm)37個、大900/76(cm)64個
n=81 小100/6(cm)20個、大200/27(cm)81個
なお、時々、真の大小は逆転してます。
計算まちがいがあったら、あとでこっそり訂正します。
しました。
SANさん、どうもありがとうございます。
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No.6
SAN
2006/08/17 01:00
こちらこそ、勝手にすみません。私は、PDJさんが見つけた答から思いついたことを書いただけです。
辺の長さについて、面倒な計算がイヤな私は最後まで計算(分数の約分)をしていません…でしたが…
訂正前のNo.5、n=16を見て、計算してみました。
★ n=16 の場合は「小100/43(cm)85個、大1050/43(cm)16個」でできますが、
「小100/11(cm)85個、大150/11(cm)16個」でも可能です。(訂正される前のNo.5の数字に似てますネ)
N0.2にも書きましたが、私の「思いつき」では「nが平方数でない場合」についての検証はできません。
★「nが平方数である場合」についても、十分に調べ尽くしているかどうか、不安が残ります。
★追記、訂正、挿入…。いろんなこと、やっちゃいました。失礼しました。
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…と、ここまでが 2006/07/24 までの書き込みでしたが、再追記を…。(2006/08/17です)
ここの投稿者、海女さんの投稿問題は、最初は次の(1)、(2) でした。
(1) 1辺100pの正方形の壁を、大小2種類の大きさの正方形のタイル合計101枚で隙間なく埋める方法は何通り?
(2) 立方体の空間?を大小2種類の大きさの立方体で…
細かな表現は微妙ですが、こんなかんじの問題だったと思います。
しかし、今は投稿問題が「問題は終わりました。」の1文だけに訂正されています。(また、海女さんの御名前で「ほかにも答はあると思います。(2) の方もお願いします」のような内容のレスNo.7もありましたが、これも消えています。)
これでは、将来ここを訪れる人々に、どんな問題であったのか分かりにくく不親切だと思いますので、投稿者・海女さんのお気持ちに反することとは思いますが、私の方で勝手に問題の説明みたいなものを書かせてもらいました。
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