ｎまでの総和は、
Ｓ＝ｎ（ｎ＋１）÷２
だから、
ｎ＝２Ｋ（偶数）のとき、
Ｓ＝２Ｋ（２Ｋ＋１）÷２
　＝Ｋ（２Ｋ＋１）。
また、
ｎ＝２Ｋ−１（奇数）のとき
Ｓ＝（２Ｋ−１）（２Ｋ）÷２
　＝Ｋ（２Ｋ−１）。
いずれの場合も、Ｋを２以上の整数とするとｎは３以上となり題意を満たし、２以上の整数の積で表されるので、素数ではない。

っいったところでしょうか。

Bonnさんのでパーフェクトな回答ですね。
素数にはそんな性質もあったのかぁ…

算数板で、素数の不思議な性質に関するクイズを
集めたら面白そうですね