やっぱり問題が浮かばない・・・。
誰か、問題出してください。 （ほんとうに申し訳ございません！）

では問題
正２０面体のもっとも長い対角線の長さは？

もう一個
何の変哲も無い長方形の紙から正三角形を折ってください

もし既出だったらすいません

正２０面体の大きさが分からないと・・

ごめんなさい。
１辺の長さが１です。

〜〜〜〜全然わかりません〜

正２０面体の問題、実は(というほどの事ではないのですが)オリジナルや自分で見つけたような問題ではなく、友人に出題してもらったものです。
その友人の言葉を借りて紹介しますが
｢実物を見ながら考えろ｣とのことです。
僕への解説のときには、授業中内職して折った折り紙の２０面体で示してくれました。

★「長方形から正三角形を折る」★

「コンパスや定規などを使わないで…」という条件の問題であると解釈して…
�@　長方形ＡＢＣＤ（ただしＡＢ＞ＢＣ）の辺ＡＢとＤＣが重なるように折り、折り目ＥＦをつくる。
�A　これを広げて、もとの長方形にする。
�B　長方形の頂点Ｃが折り目ＥＦ上にくるようにしながら、折り目がＢを通るように折る。
このとき、ＥＦ上にある点Ｃの位置が正三角形ＰＢＣの頂点Ｐの位置となるので…（以下省略）

なお、長方形の縦と横のどちらが長いか視覚的に判断が困難であれば、�@の手順の前に、
長方形のとなりあう２辺が重なるように（長さが異なれば「重なる」とはいえないか？）
１つの角を４５°になるように折れば、縦と横のどちらが長いか分かるが、その長さの
差が小さければ、�@のＡＢ＞ＢＣという条件そのものが必要でなくなる。

＊問題は難しくはないが、この手順を書き示すことは「ちょっと面倒…」という問題。
　正解が分かっていながら「様子見」という方々が多かったことでしょう。


★「正二十面体の最も長い対角線」★

こちらは、答だけ…　　　（√（１０＋２√５））／２

＊こちらも考え方は簡単（計算は「ちょっと面倒？」）でも、もとめ方を書き示すことは「かなり面倒！」
…というわけで、あとは、出題者の「ふう」さんの「正解発表と解説」を楽しみに待ちたいと思います。
私は黄金比を使った方法でした（知ってる人にはこの方法が簡単？）が、別のもとめ方もあるでしょう。

（皆様、どちらの問題も、答の間違いや表現の曖昧な点など、お気づきのこと、容赦なくご指摘下さい。）

返信遅れてすいません…
正三角形の問題の解答です。
ＳＡＮさんの仰るとおりです。僕の用意していた解答よりも数学的で丁寧です。

ちなみに僕の用意していた解答は
１、長方形の紙の、短い辺の垂直二等分線を折る
２、短い辺の両端をＡ,Ｂとすると、Ａを動かさずにＢを１で折った線に重なるようにする。そのときの交点をＰとする
３、三角形ＡＢＰが正三角形

｢Ａを動かさず｣とは、折ったときの折り目がＡを通るように、ということです。
言葉でまとめようとすると難しいです。やはり記号を用いた方が早かったです。

正二十面体の問題も、ＳＡＮさんが正解です。
こちらの解答は更に説明が面倒です。用意した解答では説明が不十分ですので、もうしばらく、言葉をまとめる時間を下さい。。

うう・・・。高レベル〜・・・。
ロックしたくなったら僕に言って下さい・・・。

正二十面体の解答が終わった所でお願いするのでそれまで待ってください、武勇伝さん。

・正五角形の対角線の長さ
問題を解く上で必要になりますので、まずはこれから。
黄金比になることを知っている人であれば、一辺の長さが１の正五角形の対角線の長さは(1+√5)/2だとわかるはずです。
[証明]
一辺の長さが１である正五角形ＡＢＣＤＥについて、ＡＣとＢＥの交点をＰと置き、ＢＥの長さをxとする。
∠ＢＡＥ＝１０８°より∠ＡＢＥ＝∠ＡＥＢ＝３６°(もちろん三角形ＡＢＥは二等辺三角形です)
また、三角形ＡＢＥ≡三角形ＢＣＡより∠ＢＡＣ＝３６°
ゆえに二角が等しいので三角形ＡＢＥ∽三角形ＰＡＢ
また三角形ＡＰＥはＡＥ＝ＰＥの二等辺三角形であるから(ただの角度の計算です)ＰＥ＝１
従って１：ｘ＝(ｘ−１)：１
ｘ(ｘ−１)＝１
ｘ＾２−ｘ−１＝０
ｘ＞０より
ｘ＝(１+√５)/２
[証明終]

・正二十面体の中の正五角形
ここから先こそ図がないと説明が難しいのですが、頑張って説明してみます。。
もちろん正三角形が２０枚で正二十面体ですが、正二十面体の中に正三角形５枚でできている正五角錐が見られます。その底面は一辺が１の正五角形ですので、その対角線の長さは（１+√５）/２です。

・正二十面体の中の長方形
正二十面体のある辺と、それと最も離れている辺は、その対称性よりねじれの位置になく(一つの平面上に存在し)、平行である。
ある辺ＡＢとその対辺(←こういう表現を用いていいですか？)ＣＤが長方形ＡＢＣＤを作っている。
ＡＢ＝ＣＤ＝１は明らかである。
ここで、この長方形の長辺は先程の正五角形の対角線になっているので
ＡＤ＝ＢＣ＝（１+√５）/２
この長方形の対角線が、求めるべき正二十面体の最長対角線であるから、直角三角形ＡＢＤについて三平方の定理より
（√（１０+２√５））/２

ではロックをお願いします

ごめんなさい！ロックしたと思ってたんですが・・？？ほんとうにすいません！
「人のふり見て我がふり直せ」
ですね。すいませんでした。６９します。