ヒント・・・ピタゴラスの定理を使って
解いて下さい。

>小さい円の接線と大きい円に交わる間の長さ
これがどこの長さを指しているのかがよくわかりません。

出題者ではないのでよく分かりませんが、小さい円は大きい円と同心円ですよね。（同心円でなくても小さい円が大きい円の中にある事が条件）ということは、小さい円の接線ｌ（小さい円と交わる点をｓとする）をある程度延長した時、必ず大きい円（外側の円）と２点ｓの両側の点ｐ、ｑで交わります。恐らく４ｃｍというのは線分ｐｑの事だと思われますが。

接線と二つの円の関係は分かりますよ。
その4cmがpqなのかpsなのかが特定できません。
pqなら4π平方cm、psなら16π平方cmだということは分かっているんですが

良く判る？解説　
大きい円の中心に小さい円があります。
このことから大きい円と小さい円の中心は同じである事が判ります。
中心を　O　、大きい円の半径をＲ、小さい円の半径を　ｒ　とします。
小さい円の円周上に点Sを取りそこから接線を引いて大きい円と交わった点を
p、qと致します。
ここで三角形　OSP　を考えますと角　OSP　は接線である事から　90°
三平方の定理から　OS^2+SP^2=OP^2　となります。
ここで　OS=ｒ　OP=Ｒ　より　ｒ^2+SP^2=Ｒ^2
大きい円の面積　πＲ^2、小さい円の面積　πｒ^2　から　面積の差は　π（Ｒ^2-ｒ^2）
これに上の式を代入すると　π（ｒ^2+SP^2-ｒ^2）=π SP^2　になります。
よってSP=4の時には　16π、PQ=2SP=4の時には　4π　になります。