1.正しい
　証明はあとで

2.正しくない
　反例　n=10,20など

1.正しい。
ニ数の整数で掛け算をすると、かけた後の数の１の位は、
(10n+a)(10m+b)=100na+10(ma+nb)+abとなり、１の位のみに影響される。よって、任意の数nのm乗した時の一の位は、nを10で割ったあまりのm乗した時の一の位の数と等しい。
（例のように22の累乗の場合、1の位の変化は2の累乗と全く同じである。）

また、nの累乗の変化に関して、ある1桁の負でない整数xに
nの1の位を掛けると、必ず決まった値を返す。しかし、1桁の負でない整数は10個しかないため、少なくとも以前のn^mの10個又はそれ以下の数に一致する。よって必ず累乗を無限に繰り返す間、10またはそれ未満の数でループを繰り返している。

ちょっと変かな？

2.PDJさんの言うとおり、10,20…の場合、1,0,0,0…となりますが、n^101以降の場合、100またはそれ未満の数のループとなります。