詳しい計算は省略します。

正方形より、正八角形のほうが面積が大きいことを示します。
次に正八角形より正十六角形のほうが大きいことを示します。
あとはこの様なことが一般的に成り立つことを示し、極限を利用すれば良いと思います。

レスありがとうございます（＾＾／
ＰＤＪさんのご指摘のとおり、
多角形の場合には、比較的簡単に証明できます。
しかし任意の単純閉曲線（自己交差しない）の
場合は、難しくなります。
素人考えなのですが、
ベクトル解析や微分幾何学の出番のような・・・。