ではこんな問題を。大学受験シーズンもそろそろ終わりということで、今年の入試問題から。京都大学理系の第４問です。

２以上の自然数ｎに対し、ｎと(ｎ^2)＋２がともに素数になるのはｎ＝３の場合に限ることを示せ。

（ｎ^2は、ｎの２乗を表します。）

もしかして、
前半部　ｎ＾（2＾ｍ）
もしくは後半部　ｎ＝3ｍ

とかの問題ミスじゃないですか？

実際に京都大学を受けたわけではなく、各予備校が発表しているものを見たのですが、これで合っていると思います。

まず、ｎ＝３ｍというのはありえないと思います。その条件で既にｎは３の倍数ということになってしまうんで、３だけ確かめておしまいということになってしまいます。

この問題の題意は、具体例を挙げると、
・ｎ＝２の時、ｎ^2＋２＝６となり、２は素数だが、６は素数でない。
・ｎ＝３の時、ｎ^2＋２＝11となり、３、11ともに素数である。
・ｎ＝４の時、ｎ^2＋２＝18となり、ともに素数ではない。
・ｎ＝５の時、ｎ^2＋２＝27となり、27は素数ではない。
…
と調べていくとｎ＝３の時だけともに素数になっているということです。
ともに素数ということなんで、結局ｎが素数の時だけ調べていくということになると思います。
調べるといっても自然数全体ですから、最初のいくつかを見て、何かに気付いて、そこで上手いやり方を考える…という感じですかね。

n=2のとき
n^2+2=6となり、素数ではない。

3以上のnは3m、3m+1、3m+2に分けられる。(mは自然数)
n=3m+1のとき
n^2+2=(3m+1)^2+2=3×(3m^2+2m+1)となり、3m^2+2m+1は2以上の自然数になるので、n^2+2は素数ではない
n=3m+2のとき
n^2+2=(3m+2)^2+2=3×(3m^2+4m+2)となり、3m^2+4m+2は2以上の自然数になるので、n^2+2は素数ではない
n=3mのとき
n^2+2=9m^2+2となり、判定はできない。

n=3mのときを調べる
m=1の場合、n=3、n^2+2=11となりともに素数である。
m>1の時は、nが素数ではない。

したがって、n、n^2+2がともに素数となるのは、n=3のときだけである。

はるか昔を思い出しますなあ。

正解ですね。
はるか昔かぁ〜高校生の頃に比べたら問題に対する勘が鈍っているとは思いますが、それでも３の倍数かどうかの場合わけに気付いて短時間で解答できるのはすごいです

すみません･･･。
とんでもない勘違いをしていたようです