答えは
Q1) B(1/2,1/4)
Q2) C(1/√3,2√3/9)
Q3) C(2/3,8/27)
だと思います。

こういう計算問題は結構好きですね。
思考力や発想力が必要な問題は苦手なので数学のセンスはないのですが・・・。

chemistさん、Q1,Q3は正解ですがQ2はおしいようです。(こちらが間違っていたらごめんなさい。)

簡単な解答を載せておきます。

Q1-3)どの問題においても、0≦X≦1のときの３点のY座標は、A≧B≧C、任意の２点の距離は
それぞれの点とグラフの接線の傾き（XからXにおける変化の割合）が等しくなるところまで増加していき、そこからは減少し、0になるはずです。
（ y=x , y=x^2 でいずれもx=1の時y=1のため)
つまり、変化の割合が等しいところが距離が最大になるところです。

Q1)Aの変化の割合は1、２次関数は 2X なので、X=1/2。
よって、B(1/2,1/4)が答えです。

Q2)３次関数の変化の割合は 3(X^2) 、よって 3(X^2) = 1 という方程式が立てられます。
解くとX=±1/√3となります。よって、C(√3/3,√3/9)が答えです。

Q3)Q2と同様に 3(X^2) = 2X、解くと X=0,X=2/3 となります。X=0の時は問題外なので、
X=2/3となります。よって、C(2/3,8/27)が答えです。

説明分かりにくてごめんなさい。（私が未熟なもので・・・）