8/3ですか？
式は2∫4x(1-2x^2)^(1/2)dx

問題のミスとして有限部分の「体積」を求めると、
同じく8/3になりました。

問題が正しいとして有限部分の「面積（表面積）」を求めると、
2(1+√2)Πとなりました。

あっ勘違いしてた…
表面積ですね。それなら2(1+√2)πになりました

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上の計算で表面積はおそらく間違っています。
体積の積分は同じく8/3でしたが、面積では積分の方向に気をつけないと。

空間座標を導入して、円柱をx^2+y^2=1とする。（中心軸はz軸）
二平面αβをx=±zで表す。
ここで、y=kで切って切り口をみると、二枚の直角二等辺三角形からなり、ちょうど蝶ネクタイのような形をしている。
直角三角形の頂点は(0,0)と(±√(1-k^2),±√(1-k^2))である。（y座標を省略して、x,z座標で表記）
この断面積は{√(1-k^2)}^2*2=2(1-k^2)なので、これをk=-1〜1まで積分して、
2∫(1-k^2)dk=2*(1+1)^3/6=16/6=8/3
となりました。

一方、この切り方で面積を求めようとすると、蝶ネクタイの円周の長さ、(4+4√2)*√(1-k^2)を積分すればいいように思えますが、円柱部分に相当する線分、z=-√(1-k^2)〜+√(1-k^2)の部分を積み重ねていく方向が、y軸方向への積分方向と常に一致しているわけではないので、この計算は正しくありません。
（ちなみにこの積分の計算結果はk=-1〜+1で積分して2(1+√2)πで、上の結果となります）
実際は円柱の部分がもう少しだけ大きくなるはずです。

ここではz=kで切って、その切り口を考えます。
z=0について対称なので、z>=0を考えます。（0<=k<=1）
z=kで切ったとき切り口は円の一部、かまぼこみたいな形であり、その周は弦と円弧になります。
x=0、y=0の平面について対称だからx>=0、y>=0の部分だけを考えます。
z座標を省略し、x,y座標だけで表記すると、円弧の方は、半径1の円周上でk<=x<=1、0<=y<=√(1-k^2)の部分、弦の部分は0<=y<=√(1-k^2)の線分で、これらの和が周の長さです。
ここでx軸の正の方向からはかった点(k,√(1-k^2))の偏角をθ(k)とします。
このときcosθ=k、sinθ=√(1-k^2)です。
円弧の長さは中心角θ(k)、半径1なので、θ(k)となります。
したがって、x>=0、y>=0の部分だけを取り出したとき、その表面積のうち円柱の部分は
∫θ(k)dk（k=0から1まで）
となります。
dk/dθ=-sinθを利用して置換すると
∫θ*(-sinθ)dθ（θ=π/2から0まで）
を計算すればいいことになります。
-θsinθの不定積分はθcosθ-sinθ+C（Cは積分定数）だから、結局この積分の結果は1です。
したがって対称性から円柱の部分の表面積はこれを8倍して8となります。

一方z=kでの切り口のうち弦の部分は、結局円柱を斜めに切ったときの切り口の面積に相当します。
長軸√2、短軸1の楕円が二枚あると考えて、その面積は2√2π。

したがって合計して表面積は8+2√2πです。
先ほど求めた2(1+√2)πより、8-2πだけ大きくなります。