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超東大レベル
難易度:
タソレン
2006/01/24 18:34
座標空間に、コ粥「y軸、z軸のそれぞれに平行な軸をもち、どの2つも共通部分を持たない半径1の円柱が3つある。ある平面αをこの3つの円柱に交わらせる時、円柱によって切り取られる平面α上の3つの部分の面積の輪の最小値を求めよ。
難しいですねぇ、、
解答は返信中にあるかも。答えがわかったり、誰かに解いて欲しいときは右上の
から教えてね。
回答募集は終了しました。
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No.1
t.
2006/01/26 22:16
3√2πかな…
全然自信ないです…
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No.2
QPD
2006/01/30 16:09
x^2 + y^2 + z^2 = 1 の時の、
1/x + 1/y + 1/z の最小値問題に置き換えてやりましたが、
3√3πになってしまいました。
これは多分間違いですね・・・。
3√2πをどうやって導出したかを教えて欲しいです。
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No.3
t.
2006/01/31 01:50
0<θ,φ,Φ<π/2、x軸、y軸、z軸それぞれとこの平面αのなす角をθ,φ,Φとする。
円柱が平面によって切られる断面は楕円で合計の面積は
S=(1/cosθ+1/cosφ+1/cosΦ)π
平面αの法線ベクトルの単位ベクトルA(a1,a2,a3)とし、x軸y軸z軸それぞれの正方向の単位ベクトルX,Y,Zとする。a1^2+a2^2+a3^2=1
内積A・X=|A||X|cos(π/2-θ)
(左辺)=(a1,a2,a3)・(1,0,0)=a1
(右辺)=sinθ
∴a1=sinθ
同様にa2=sinφ、a3=sinΦ
∴sinθ^2+sinφ^2+sinΦ^2=1
なんとなく全部等しいときが最小になりそう…(ここが重要なのに根拠なしというのがネックです)
sinθ=sinφ=sinΦ=1/√3
∴cosθ=cosφ=cosΦ=√6/3で、S=3√6/2π
…って先の答えとも違うし…
むしろ僕もその最小値問題にどう置き換えたのか教えてほしいです。x^2+y^2+z^2=1って球ですよね…どういう考え方ですか?
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No.4
REE
2006/01/31 16:00
円柱の長さが有限だったりして・・・
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No.5
QPD
2006/01/31 22:49
>t.さんへ
内積の式が間違っていますよ。
(内積)A・X=|A||X|sinθ
になっていますが、ここは正しくはcosθです。
後はだいたい同じです。
cos^2θ + cos^2φ + cos^2Φ = 1 を条件とした場合の、
1/cosθ + 1/cosφ + 1/cosΦ の最小値を求めれば良いわけです。そういう意味で、
『x^2 + y^2 + z^2 = 1 の時の、
1/x + 1/y + 1/z の最小値問題』と言っただけです。球の性質を使う必要は無くあんまり意味はありません。
(0 < θ, φ, Φ < π)なので、
当然(0 < 1/cosθ, 1/cosφ, 1/cosΦ < 1) です。
よって、以下の(相加平均)≧(相乗平均)
(x + y + z) / 3 ≧ 3√(xyz) ←立方根です
が成り立ちます。
ちなみに等号成立は x = y = z の時です。
つまり、 1/x + 1/y + 1/z は、x = y = zの時に最小になり、これより小さくはならないので、
条件式から最小を与える x = y = z = 1/√3 が求まり、
答えは3√3πとなります。
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No.6
t.
2006/01/31 23:50
相加相乗平均!…忘れてたなぁ…
各軸と平面αのなす角をθとおいたので、平面αの法線ベクトルと各軸とのなす角は(π/2-θ)かと思ったんですが…
それでcos(π/2-θ)=sinθとしたんです…
むしろそうした時、間違ってたのは楕円の面積の方ですね。
軸と平面αのなす角を決めた時は
S=1/sinθ+1/sinφ+1/sinΦ
となるんですね。納得しました。ありがとうございました。
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