3√2πかな…
全然自信ないです…

x^2 + y^2 + z^2 = 1　の時の、
1/x + 1/y + 1/z　の最小値問題に置き換えてやりましたが、
３√３πになってしまいました。
これは多分間違いですね･･･。

３√２πをどうやって導出したかを教えて欲しいです。

0<θ,φ,Φ<π/2、x軸、y軸、z軸それぞれとこの平面αのなす角をθ,φ,Φとする。
円柱が平面によって切られる断面は楕円で合計の面積は
Ｓ＝(1/cosθ+1/cosφ+1/cosΦ)π
平面αの法線ベクトルの単位ベクトルＡ(a1,a2,a3)とし、x軸y軸z軸それぞれの正方向の単位ベクトルＸ,Ｙ,Ｚとする。a1^2+a2^2+a3^2＝１
内積Ａ・Ｘ＝|A||X|cos(π/2-θ)
(左辺)＝(a1,a2,a3)・(1,0,0)＝a1
(右辺)＝sinθ
∴a1＝sinθ
同様にa2＝sinφ、a3＝sinΦ
∴sinθ^2+sinφ^2+sinΦ^2＝１
なんとなく全部等しいときが最小になりそう…(ここが重要なのに根拠なしというのがネックです)
sinθ＝sinφ＝sinΦ＝1/√3
∴cosθ＝cosφ＝cosΦ＝√6/3で、Ｓ＝3√6/2π
…って先の答えとも違うし…

むしろ僕もその最小値問題にどう置き換えたのか教えてほしいです。x^2+y^2+z^2=1って球ですよね…どういう考え方ですか？

円柱の長さが有限だったりして・・・

>t.さんへ
内積の式が間違っていますよ。
（内積）A・X＝|A||X|sinθ
になっていますが、ここは正しくはcosθです。
後はだいたい同じです。

cos^2θ + cos^2φ + cos^2Φ = 1 を条件とした場合の、
1/cosθ + 1/cosφ + 1/cosΦ の最小値を求めれば良いわけです。そういう意味で、
『x^2 + y^2 + z^2 = 1　の時の、
1/x + 1/y + 1/z　の最小値問題』と言っただけです。球の性質を使う必要は無くあんまり意味はありません。

(0 < θ, φ, Φ < π)なので、
当然(0 < 1/cosθ, 1/cosφ, 1/cosΦ < 1) です。

よって、以下の（相加平均）≧（相乗平均）
(x + y + z) / 3 ≧ 3√(xyz)　←立方根です
が成り立ちます。

ちなみに等号成立は x = y = z の時です。

つまり、 1/x + 1/y + 1/z は、x = y = zの時に最小になり、これより小さくはならないので、
条件式から最小を与える x = y = z = 1/√3 が求まり、
答えは3√3πとなります。

相加相乗平均！…忘れてたなぁ…

各軸と平面αのなす角をθとおいたので、平面αの法線ベクトルと各軸とのなす角は(π/2-θ)かと思ったんですが…
それでcos(π/2-θ)＝sinθとしたんです…

むしろそうした時、間違ってたのは楕円の面積の方ですね。
軸と平面αのなす角を決めた時は
Ｓ＝1/sinθ+1/sinφ+1/sinΦ
となるんですね。納得しました。ありがとうございました。