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超高校級
難易度:
タソレン
2006/01/24 18:26
直角3角形の斜辺の長さの和が1のとき、斜辺の長さの取りえる値の範囲を求めてください。
2通りの解法があります
解答は返信中にあるかも。答えがわかったり、誰かに解いて欲しいときは右上の
から教えてね。
回答募集は終了しました。
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No.1
風花
2006/01/24 19:20
2とおりのうち,多分簡単な方で(笑)。
ちなみに,問題文中
>斜辺の長さの和が1
は,斜辺以外の2辺の長さの合計のことだと思うので,その方向で解きます。違ってたらご容赦。
斜辺以外の2辺の長さをそれぞれa,(1-a)とおきます。
ここで,0<a<1です。
斜辺の長さは√(a^2+(1-a)^2)と表せます。
a^2+(1-a)^2が最小の時,斜辺の長さは最短
a^2+(1-a)^2が最大の時,斜辺の長さは最長です。
a^2+(1-a)^2=2(a-1/2)^2+1/2
0<a<1より,
a=1/2の時a^2+(1-a)^2=1/2で最小
a=0,1の時a^2+(1-a)^2=1で最大
よって斜辺の長さは(xとすると)
√(1/2)≦x<1
となります。
・・・多分
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No.2
PDJ
2006/01/24 23:26
もうひとつの方法は半円と円周角を使うのでしょう。
詳しくはゆっくり考えます。
どなたかに先を越されてもかまわんです。
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No.3
t.
2006/01/31 21:27
△ABCにおいて、∠BAC=π/2、∠ABC=θ、∠ACB=π/2-θ、AB=y、BC=2x(斜辺)、CA=zとする。
0<θ≦π/4とする。斜辺の中点Mとする。条件はy+z=1。
この時AM=BM=CM=xとなっている。また∠AMC=2θとなっている。
これは△ABCの外接円を書けば、BCがこの円の直径にあたり、Mが円の中心にあたることよりわかる。
△MABと△MACについて余弦定理より、
y^2=x^2+x^2-2x^2cos(π-2θ)
=2x^2(1+cos2θ)
=4x^2cosθ^2 (∵倍角の公式)
∴y=2xcosθ
同様に
z^2=x^2+x^2-2x^2cos2θ
=2x^2(1-cos2θ)
=4x^2sinθ^2
∴z=2xsinθ
y+z=1に代入
∴2x(cosθ+sinθ)=1
ゆえに斜辺の長さ2xは
2x=1/(cosθ+sinθ)と表せる。
t=cosθ+sinθとして、これを微分して増減を調べるなりすれば、
θ→0のときt→1
θ=π/4のときt=√2で、1<t≦√2なので
求める斜辺の範囲は
1/√2≦2x<1
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No.4
QPD
2006/02/01 10:17
前半は冗長だと思います。
単純に斜辺をx, 角度をθとすれば、縦はxsinθ, 横はxcosθですから、
x(sinθ + cosθ) = 1 です。
sinθ + cosθ (0 < θ < π/2) の範囲は、
書いてあるように微分するか、 sinθ + cosθ = √2sin(θ + π/4) を用いて、
1 < sinθ + cosθ ≦ √2
→1/√2 ≦ x < 1
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No.5
Holly
2006/02/06 21:29
BA=BC=1,∠B=90°の直角二等辺三角形ABCを考えると、
「線分AC上に点Pをとる。BPの長さの取りえる値の範囲を求めよ」
という問題に置き換えられます。
(∵PからBAに下ろした垂線の足をH,
PからBCに下ろした垂線の足をIとすると
HP+HBは常に1なので
直角三角形HBPが題意の三角形)
後は、PがACの中点の時が最小値1/√2、
PをA(またはC)に近づけるにつれて
BPは1に近づいていくので
∴1/√2≦x<1
このクイズのヒント
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