２とおりのうち，多分簡単な方で（笑）。
ちなみに，問題文中
＞斜辺の長さの和が1
は，斜辺以外の2辺の長さの合計のことだと思うので，その方向で解きます。違ってたらご容赦。

斜辺以外の2辺の長さをそれぞれa，(1-a)とおきます。
ここで，0<a<1です。

斜辺の長さは√(a^2+(1-a)^2)と表せます。
a^2+(1-a)^2が最小の時，斜辺の長さは最短
a^2+(1-a)^2が最大の時，斜辺の長さは最長です。

a^2+(1-a)^2=2(a-1/2)^2+1/2
0<a<1より，
a=1/2の時a^2+(1-a)^2=1/2で最小
a=0,1の時a^2+(1-a)^2=1で最大

よって斜辺の長さは（xとすると）
√(1/2)≦x＜1

となります。
･･･多分

もうひとつの方法は半円と円周角を使うのでしょう。
詳しくはゆっくり考えます。

どなたかに先を越されてもかまわんです。

△ABCにおいて、∠BAC＝π/2、∠ABC＝θ、∠ACB＝π/2-θ、AB＝y、BC＝2x(斜辺)、CA＝zとする。
0＜θ≦π/4とする。斜辺の中点Mとする。条件はy+z＝1。
この時AM＝BM＝CM＝xとなっている。また∠AMC＝2θとなっている。
これは△ABCの外接円を書けば、BCがこの円の直径にあたり、Mが円の中心にあたることよりわかる。
△MABと△MACについて余弦定理より、
y^2＝x^2+x^2-2x^2cos(π-2θ)
　 ＝2x^2(1+cos2θ)
　 ＝4x^2cosθ^2　(∵倍角の公式)　
∴y＝2xcosθ
同様に
z^2＝x^2+x^2-2x^2cos2θ
　 ＝2x^2(1-cos2θ)
　 ＝4x^2sinθ^2
∴z＝2xsinθ
y+z＝1に代入
∴2x(cosθ+sinθ)＝1
ゆえに斜辺の長さ2xは
2x＝1/(cosθ+sinθ)と表せる。
t＝cosθ+sinθとして、これを微分して増減を調べるなりすれば、
θ→0のときt→1
θ＝π/4のときt＝√2で、1＜t≦√2なので
求める斜辺の範囲は
1/√2≦2x＜1

前半は冗長だと思います。

単純に斜辺をx, 角度をθとすれば、縦はxsinθ, 横はxcosθですから、
x(sinθ + cosθ) = 1 です。

sinθ + cosθ (0 < θ < π/2) の範囲は、
書いてあるように微分するか、 sinθ + cosθ = √2sin(θ + π/4) を用いて、
1 ＜ sinθ + cosθ ≦ √2
→1/√2 ≦ x ＜ 1

BA=BC=1,∠B＝90°の直角二等辺三角形ABCを考えると、
「線分AC上に点Pをとる。BPの長さの取りえる値の範囲を求めよ」
という問題に置き換えられます。
(∵PからBAに下ろした垂線の足をH,
PからBCに下ろした垂線の足をIとすると
HP+HBは常に1なので
直角三角形HBPが題意の三角形)

後は、PがACの中点の時が最小値1/√2、
PをA(またはC)に近づけるにつれて
BPは1に近づいていくので

∴1/√2≦x＜1