２のｎ乗は素因数分解してもそのままで、３を含まないから。

まぁアレですね。３で割れるものは因数分解すると３を含んでいるんですよ。
言い方を変えると因数分解してでてきた数で割れるってこと。

3で割れないものに3で割れないものをn回かけたものだから。

どうにかしてなった！

1)n=1のとき…
2)n=kのとき成り立つと仮定する
　n=k＋1のとき…

2×2×2×2×2×2…
━━━━━━━━━（分数です）
　　　3

ほら、約分できません。

log（底2）(真数3)=nについて、整数のnがないから。とか？

2^nならば3の倍数でない。
2^n＝3m（n,ｍは自然数）が成り立つと仮定する。
m=2^n/3　ここでｍ>0,2^n>0より両辺の底が2の対数をとる。（底が2の対数をここでは単にlogとする）
logm=log2^n/3
logm=n-log3
m=2^n-log3
log3の値は整数ではないので、ｎが自然数のとき自然数の値のｍは存在しない。
これは、仮定と矛盾する。よって2^nならば３の倍数ではない。
でも、最初の問題にｎが自然数であるとは書いてないのでn=log3のときなんかは成立しますよね？どっか間違ってそうですけど。