台秤には重さはあるんですか？
寸分違わぬ同じものって書いてありますけど。

秤にもおもりにも重さはあります。１と２では秤の重さが違っていますが、
一応、それぞれが独立した別の問題と言う事で御容赦を。

３の文中に、こっそりと秤にも重さがある事を匂わせてあります

（３）の秤
２Ｃ−Σ｛ｋ＝１〜（ｎ−２）｝Ａｋ

（３）の重り
Ａｋ＝（Ｂｋ−（（２Ｃ−Ａｋ）×（１−（１÷２＾（ｎ−ｋ）））））×（２＾（ｎ−ｋ））

（４）の答えは１のみ

1/2＋1/4＋…を簡単に表現する方法を知らないため、このような式に。
それにもっと簡単な考え方が潜んでいるかもしれない。ということで、あまり自信はなし。
当って砕けろ！

ピラミッドがトラウマになりそうな気配

>>3 >Another Worldさん

えっと、BkとCを用いて秤を式化してもらうのが３の設問の意図だったのですが（そうしないと４につながらないので…）、明記するのを忘れていました。明らかに私のミスなので、AkのΣを用いた式ももちろん正解になります。

（３）
秤の関係式は正解です。もしよろしければ、BkとCを使った式にも挑戦してみてください。

おもりの関係式は「(2C-Ak)」を秤の関係式に置き換えれば合っていますね。もし、Σを省略したつもりでこう書いたのであれば、正解です。
式としては以下の方がシンプルだと思います。（α は秤の重さ）

Ａｋ　＝　２＾（ｎ−ｋ）　×　Ｂｋ　−　（２＾（ｎ−ｋ）−１）　×　α


（４）
こちらは残念ながら…

もともと秤をBkとCに関係付けてからでないと解けない問題なので、私の誘導ミスです。申し訳ありません。



問題を一部修正しておきました。

見事に砕け散りましたね(笑)

＞おもりの関係式は「(2C-Ak)」を秤の関係式に置き換えれば合っていますね。もし、Σを省略したつもりでこう書いたのであれば、正解です。
おもりの方も間違ってるかな。
Bkが出てくる時は、必ずおもりは一つという前提の元にすすめているというのと、
おもり単体の重さを求めているのでΣなしにしました。（省略したつもりはないです。）
両辺にAkがあるのもおかしいかな。なんにせよ、秤をCとBkで表さないとダメみたいですね。

＞式としては以下の方がシンプルだと思います。（α は秤の重さ）
＞
＞Ａｋ　＝　２＾（ｎ−ｋ）　×　Ｂｋ　−　（２＾（ｎ−ｋ）−１）　×　α
とってもシンプルですね。かけてやれば良かったのか･･･

Ｂｋ･･･おもりは一つ。Ｃ･･･おもり全部。
う〜ん、少し考えてみましたが、ＢｋとＣはなかなか繋がりそうにないです。
なにやらハマっている模様。

以上、間違いの自己申告でした

（３）の秤に再挑戦
秤を X とし、Σの k は 1 〜 n - 2

　　　　Σ { (２ ＾ (ｎ − ｋ)) × Ｂｋ } − ２Ｃ
X = ―――――――――――――――
　　　　　　　(２ ＾ ｎ) − (ｎ ＋ ３)

Ｂｋをきれいに処理する方法が見つかりませんでした。
ですので、またもや無駄に複雑になってるかもしれません。
Σやμを使わなくてもいけるということであれば、また考え直します。

ぬう。なかなか分数表現がうまくいかない。

>>6 ＞Another Worldさん

正解です。
おもりの重さの法則性を指示していないのですから、BkのΣは外しようがないですね。
Akを何らかの数列にしてもっと綺麗な式にしようかとも思いましたが、設問１と２を一般化するのが一番の目的なので、余計な事を付け加えるのは避けました。

よろしければ、残る設問４にも挑戦してみて下さい。これもあまり綺麗な式とは言いがたいですが

（４）いきます

秤とおもりは０より大きいとすると

（ｎ−３）×（２＾（ｎ−２））＋２
――――――――――――　＜　Ｃ　＜　２＾（ｎ−１）−２
　　　　２＾（ｎ−１）−１

ご名答。

元々、この問題は論理板用に考えていたのですが、式があっち用としては複雑になりすぎてしまったので、急遽、こっち用に仕立て直した物です。算数板用と言う事で数式を前面に押し出したのですが、もうちょっとパズルっぽくした方が取っ付きが良かったかな？と、少し反省。

何にせよ、正解者が出てくれてホっとしてます

解答です。


（１）
おもりの重さは５２グラムです。
ちなみに秤の重さは１３６８グラム。

おもりをa、秤をxとすると
(x+a)/4 + x/2 = 1039
(x+a)/2 = 710
となります。


（２）
おもりＡ１の重さは５６０グラム、Ａ２は４００グラムです。
ちなみに秤の重さは１４８０グラム。

それぞれa1、a2、xとすると
(x+a1)/8 + x/4 + x/2 = 1365
(x+a2)/4 + x/2 = 1210
(x+a1+a2)/2 = 1220
となります。


（３）
n>=3 の整数、k<=n-2 の自然数、xは秤の重さ

以下の式を移項・代入して答えを導き出します。

　　　(2^(n-k)-1)*x + Ak
Bk = ―――――――――
　　　　　2^(n-k)

　　n-2
　　Σ Ai + x
　　i=1
C = ―――――
　　　　2

秤の重さ

　　n-2
　　Σ 2^(n-i)*Bi - 2*C
　　i=1
x = ――――――――――
　　　　2^n - n - 3

おもりの重さ

Ak = 2^(n-k)*Bk - (2^(n-k)-1)*x


（４）
秤とおもりには重さがあるので、以下の条件が成り立ちます

　　2^n - 4 - 2*C
x = ―――――――
　　　2^n - n - 3

0 < x

0 < 2^(n-1) - (2^(n-1)-1)*x

よってCの取り得る範囲は

(n-3)*2^(n-1)+4
―――――――― < C < 2^(n-1)-2
　　　2^n-2

Σって何ですか？私は絵文字にしか使いません。
Σ(゜Дο)

Σとは数列の和の記号です。

一般項ａ（ｎ）の和を表記する際、

ａ（１）＋ａ（２）＋ａ（３）＋　…　＋ａ（ｎ−１）＋ａ（ｎ）

と記すのは冗長なので、Σを用いて以下のように表記します。

　ｎ
　Σ　ａ（ｉ）
ｉ＝１

高校の数学で学びますが、数学においては加減乗除に次ぐくらいに一般的な記号なので、小中学生向け以外の所では特に注釈をつけて使われる事はないと思います。詳しくは相応の数学サイトを調べて下さい。

有難うございます。
高校で習うことにしました