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 覆面算：連立しているかしてないか
難易度：★★★★★
 千夜一夜
2024/02/10 21:58
覆面算です。
数式は２本ありますが おのおのの数式で共通して使われている文字は互いに等しい数字を覆面しています。 ABCBDECEEBC - FGCCEHIFIBC = DECIEIADJCC ABCBDECEEBC * FGCCEHIFIBC = DECIEIADJCCDECIEIADJCC 解答は囁いて下さい。 ABCDEFGHIJの順にあてはまる数字を10個並べて囁いて頂きますと かってに君が反応します。
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解答が公開されました。引き続きコメントできます。
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4701532869
これほど桁数の多い覆面算をどのようにして作るのか教えて頂きたいです
 企業秘密(?)を教えて頂きありがとうございました  閃きだけではなく、時間、そして試行錯誤が必要なのですね。 次回作を楽しみにしています 
千夜一夜
正解！
さすがは Ann さん！！ 難しい問題をするすると！！！ ＞ これほど桁数の多い覆面算をどのようにして作るのか教えて はい。 ①：ネットでみかけた綺麗な数式(算数の範囲で)を、ストックします。 ②：と同時に覆面をかぶせたものもストックします。 ③：寝かせます。 ④：忘れた頃にストックから覆面版を取り出して 覆面算として解けるかどうか試します。 唯一解とならないものはオクライリです。 ⑤：  覆面算の出来上がり。※なんとなく思うのですが、桁数が多いほうが縛りがたくさんあって、唯一解を持ちやすそうな気がします。 4701532869
「足し算」 ・一桁目より A＞F A＞D が確定 ・下一桁よりC＝0が確定 ・下四桁より、下五桁のくり下がりとI＝B-1確定 ・下五桁 D-Eが繰り下がりかつ、E≠0より E＞Dが確定 「掛け算」 ・下二桁目BｘBの下一桁＝J つまりJは1桁の数の平方数の下一桁 BとJの組み合わせが限られていて、Bを決めるとI＝B-1も決まる そうなると「足し算」下三桁目が下からの繰り下がりなしでE-I＝JなのでEも確定する B＝0 C＝0によりON B＝1,5,6の場合 それぞれJと被るのでNG B＝8の場合 I＝7 J＝4 E＝1 B＝3の場合 I＝2 J＝9 E＝1 ともにE>Dより D＝0になり破綻 B、Eが確定すると足し算二桁目B-G＝Eかつ下からの繰り下がりなしなのでGが確定する B＝2の場合 I＝1 J＝4 E＝8 G＝4 JG破綻 Eが確定すると「足し算」五桁目D-E＝EよりDの範囲が絞れる B＝4の場合 I＝3 J＝6 E＝9 G＝5 D＝9 DE破綻 残るは… B＝7の場合 I＝6 J＝9 E＝5 G＝2 D＝1 未使用が 3,4,7 足し算一桁目 A-F＝Dの下からの繰り下がりなしより A＝4 F＝3 H＝3 すべての数字を入れて足し算を確認した結果ビンゴでした～！！！ P・S 連立してるか、してないか？なのは掛け算がJを絞るのにしか貢献してないからでしょうか？
ちょっとで確認したら合ってました
ゴリ男くんでどうにかなっていたようです  …とは言うものの絶対にもっとスマートな解き方がありそう  
千夜一夜
正解！
圧倒的に《もっとスマートな方法》がもしもあったならと願わざるを得ません。 囁やき中に typo らしきものがありますが目をつぶりました。 F と H とが同じ値になってしまっていて読んでいるこちらが焦りました。 
千夜一夜
正解！
＞ 私も桁数の多い覆面算を作ってみました。 ＞ 桁数の多い覆面算=桁数多い*計算面倒 計算が面倒ということにブンブンと首を縦にふります。 かててくわえて私の場合には 解けない事態もしばしばあります。 たとえば以下のものなど。解は唯一とわかっておりますが。 MY/AX+IS/HUGE=1 １つ目の式についてmod10で考えると、
0≡C(mod 10)なのでC=0はすぐに分かります。 X=ABCBDECEEBC Y=FGCCEHIFIBC Z=DECIEIADJCC U=10^11+1 とおくと２つの式は (i)X=Y+Z (ii)XY=UZ と書くことができます。 10^10≦Y,Z<X<10^11<U なので (ii)より Z=(X/U)*Y<Y が成り立つので、 Z<Y<X<U です。 Y-Z=V>0とおくと(i)より Y=V+Z X=V+2Z です。 ここでZを割り切る最大の平方数をS^2とおくことにして、 P=Z/S^2とするとPはどの素因数についても一つしか持たず、 Z=PS^2と書けます。 (ii)より U=(V+PS^2)(V+2PS^2)/(PS^2) =V^2/(PS^2)+3V+2PS^2 ---(*) なのでV^2/(PS^2)は整数であり、 V^2はS^2の倍数となるのでVはSの倍数です。(対偶を考えれば明らか。) そこでV=QSと書くことにすると。 V^2/(PS^2)=Q^2/Pが整数となるので、 Q^2はPの倍数ですが、 Pはどの素因数も一つしか持たないので、 QはPの倍数です。(対偶を考えれば明らか。) Q=KPと書くことにするとV=QS=KPSなので(*)より U=K^2P+3KPS+2PS^2 =P(K+S)(K+2S) が成り立ちます。 M=K+S N=K+2S と書くと (iii)U=PMN であり S=N-M,K=2M-Nなので Z=PS^2=P(N-M)^2 Y=V+Z=KPS+PS^2=PS(K+S)=P(N-M)M X=V+2Z=PS(K+2S)=P(N-M)N となります。 ここで計算機を用いてUの素因数分解をすると U=11^2*23*4093*8779 なので(iii)よりP,M,Nはこれらの5個の素因数を割り当てれば求まり、 たかだか3^5通りです。 これらをすべて計算するのは大変ですが実際にはもう少し絞り込めます。 まずC=0なのでZは10^2を約数に持つので、 Sは定義から10の倍数であり, S=N-Mより N≡M(mod10) です。 上の素因数の組み合わせであり得るのは N≡M≡1,3,9(mod10) です。 さらにXとYの桁数が同じなので、 1<X/Y={P(N-M)N}/{P(N-M)M}=N/M<10 なので M<N<10M が成り立ちます。 これらが成り立つような(M,N)の組み合わせとしてあり得るのは。 (a)(23*4093,11*8779) (b)(11*11*23,4093) の二通りのみです。 (a)の場合はP=11であり Z=11*(11*8779-23*4093)=64953900 で桁数が足りないので不敵です。 (b)の場合は (P,M,N)=(8779,11*11*23,4093) でありX,Y,Zを計算すると X=47071505570 Y=32005863670 Z=15065641900 となるので、 ここから最初の式を見てA～Jを比較すると A=4 B=7 C=0 D=1 E=5 F=3 G=2 H=8 I=6 J=9 が唯一解となります。 C=0とX,Y,Zの桁数が11であるという情報しか使っていないので、 覆面算の解き方としては邪道かもしれませんが．．．
遅ればせながら参加させていただきます。
一部計算機を使ってズルをしました。
千夜一夜
正解！
お久しぶりです。 4093 と 8779 とを私もみつけてはみたのですが そこから先の絞り込みはなかなかきつくて  おみごとでした なお、誤字がございます。(不敵)
まず、
C=0 は疑いようもないことでして、これを前提とします。 掛け算のほうの式で、 上一桁、すなわち AとFとの積は二桁ですが、その積の上一桁は Dになるかもしれません。 一方において、引き算の式で上一桁が A-F=D ただし繰り下がり無し A-1-F=D 繰り下がりあり のどちらかの関係となっています。 さらに引き算の式でC=0を鑑みると AB - FG = DE をアテにしてよいと思われます。 ここまでの整理から、以下が得られます。 (とは言っても電卓を使いながらの 猛烈な確認作業となりますが) ありえる組み合わせは (a,b,c,d,e,f,g) (4,7,0,1,5,3,2) (4,7,0,1,2,3,5) (4,8,0,1,6,3,2) (4,8,0,1,2,3,6) (4,9,0,1,7,3,2) (4,9,0,1,2,3,7) (5,7,0,2,6,3,1) (5,7,0,2,1,3,6) (5,8,0,2,7,3,1) (5,8,0,2,1,3,7) (5,9,0,2,8,3,1) (5,9,0,2,1,3,8) (6,8,0,2,7,4,1) (6,8,0,2,5,4,3) (6,8,0,2,3,4,5) (6,8,0,2,1,4,7) (6,9,0,2,8,4,1) (6,9,0,2,1,4,8) (7,6,0,3,5,4,1) (7,6,0,3,1,4,5) (7,8,0,3,6,4,2) (7,8,0,3,2,4,6) (7,9,0,3,8,4,1) (7,9,0,3,1,4,8) (9,3,0,4,2,5,1) (9,3,0,4,1,5,2) (9,7,0,4,6,5,1) (9,7,0,4,1,5,6) (9,8,0,4,7,5,1) (9,8,0,4,6,5,2) (9,8,0,4,2,5,6) (9,8,0,4,1,5,7) このなかで、きちんと、掛け算の式、引き算の式が成り立つかどうか検証すると 冒頭の(4,7,0,1,5,3,2)だけが合格しました。 と、かなりのゴリ押しで解けたところで出題しました。 もっと頭のいい解き方が yoshida さん、logi さんによって提示されました。 お勧めの解き方としてはおふたりのやり方でしょう。 私がためしてみたもうひとつのゴリ押しは、 logi さんもお示しになられた通り 掛け算の式の右辺の値が 4093 と 8779 との積の倍数となっていることを利用するものです。 そこで、4093と8779度を掛け合せたものが 掛け算の式の左辺の ABCBDECEEBC または FGCCEHIFIBC の形にならないかと ヤマカケをしておいて エクセル君出強引に。 (１行式を書いてドラッグして……) このヤマカケははずれる場合もあるのですが…… まあこちらも頭の悪いやりかたですね…、とほほ。 なお、この問題の元ネタは https://www.instagram.com/p/CN93teNgEns/?utm_source=ig_web_copy_link で、松本深志高校数学研究会の皆様がみつけた数式です。 私はこれを覆面にしてねかせて 忘れた頃に解けるかどうか試してみたのでした。 なお、知人によれば この覆面算は 連立せずとも解けるのだそうです。 各々独立した覆面算として唯一の解を持つのだそうで うはあ。 |
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