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 タイヤキ２
難易度：★★
 千夜一夜
2023/02/14 22:18
しっぽまで餡のつまったタイヤキの
ひとつの重さを 110 グラムとします。 しっぽがカラのタイヤキの ひとつの重さを 100 グラムとします。 しっぽまで餡のタイヤキと しっぽがカラのタイヤキとは 見た目では区別がつきません。 天秤で重さを比べれば両方の区別がつきます。 以後、前者を重いタイヤキ、後者を軽いタイヤキとします。 全部で８個のタイヤキがあります。 お母さんが買ってきたのです。 レシートによれば、うちわけは、 重いタイヤキが５個で 軽いタイヤキが３個です。 お母さんが８個のタイヤキから３個をランダムに選びます。 お母さんの勘では３個ともに重いタイヤキなのではないかといいます。 この３個が全て本当に重いタイヤキであるか はたまたそうではないのか 天秤を使って調べる方法を考えてください。 なお、天秤の使用回数をできるだけしぼってください。
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回答募集は終了しました。
千夜一夜
この裏技で一発で解けるパズルをもうひとつ知っています。
 ■問題 重いタイヤキが７個と軽いタイヤキが２個ありますが 見た目では区別がつきません。 そこで天秤を使ってみわけようと思います。 合計９個のタイヤキは、テーブル上に 丸い輪のように並んでいます。 軽いタイヤキは隣どうしに並んでいることだけは あらかじめわかっています。 天秤を２回使って、軽いタイヤキがどれなのか 見極めてください。 母が選んだたいやきをABCとする。選ばなかったたいやきをDEFGHとする。
1回目 左にAB、右にCDを乗せる。 つりあえば母の選んだたい焼きABCはすべて重いたいやきが確定し成功終了。 右が下がれば母の選んだABはどちらかまたは両方が軽いたいやきのため失敗終了。 左が下がれば2回目に進む。 2回目 左にC、右にDを乗せる 左が下がれば母の選んだたい焼きABCはすべて重いたいやきが確定し成功終了。 右が下がるかつりあえばCは軽いたい焼きなので失敗終了。 
これより少ない回数では無理と思います。
千夜一夜
 さすが。正解！ 初回に天秤に乗せる個数が異なる 別解もありますので 是非チャレンジを！！！ 天秤左：お母さんの選んだたい焼き３個
天秤右：それ以外の５個のうちの３個 天秤が釣り合うor天秤が右に傾けば、 ３個のいずれかは軽いたい焼きで確定。 天秤が左に傾いた場合、 パターン１ 天秤左：重重重 天秤右：重重軽 パターン２ 天秤左：重重重 天秤右：重軽軽 パターン３ 天秤左：重重重 天秤右：軽軽軽 パターン４ 天秤左：重重軽 天秤右：重軽軽 このうち、パターン１～３と４を見分けられれば良いので、 天秤右のたい焼き２個を残りの２個と取り換えて計量すればよい。 これでも左に傾けば、お母さんの勘は正しかったことになります。
論理クイズ面白いですね
 出題者様の問題を前提に、一部改変しまして、 全部で２１個のタイヤキがあります。 お母さんが買ってきたのです。 レシートによれば、うちわけは、 重いタイヤキが１０個で 軽いタイヤキが１１個です。 お母さんが２１個のタイヤキから１０個をランダムに選びます。 お母さんの勘では１０個ともに重いタイヤキなのではないかといいます。 この１０個が全て本当に重いタイヤキであるか はたまたそうではないのか 天秤を使って調べる方法を考えてください。 これだと天秤の使用回数はなんかいになるでしょうか？ 「はい、難解になる」が正解ではありません  きちんと回数は決まります。
千夜一夜
■まず、私が出題した問題について
ご解答は、私が用意した想定解とほぼ一致です。 正解!! ※これ、初回と２回目との計量との 順番を入れ換えても大丈夫なところが 面白いところですね。 １回目の計量結果をしらずとも ２回目の計量方法をそのまま 実行可能ですので。 また、たぬきおやぢさんによる解とは 異なります。初回に乗せる個数が…… ■guestさんによるご出題について 絶賛考え中です。面白そうです。 ※当初、この囁きのなかに 私の問題への解ではなく、 Guestさんによる出題の解が書かれているものと 勘違いしておりました。それゆえに囁きを見なかったのです。 お詫び申し上げます。 それゆえ、 >>4 と >>6 とで私のお返事がトンチンカン なものになってしまいました……
>>3 guest さんへ。
コメントを有り難うございます。 COMMENTおよびにご出題を まことに有り難うございます。 まだ、guest さんの囁きを拝読しては おりません。 せっかくですので、ワタシも挑戦したいと思います。 ちなみに、オリンポス山の神々によれば…… 重いタイヤキが２７個 軽いタイヤキが２７個 あわせて５４個のタイヤキから おかあさんが山勘で選んだ２７個の タイヤキが全て本当に重いタイヤキなのか否かを 調べるのに、 天秤４回で足りるそうです。 ただ、この解を私が知っているからといっても guest さんからのご出題に即座に適用できるとは 限らないわけでして………悩みますね。 なお、天秤３回ならば、 重い軽いが９個づつ、 ヤマカンで撰んだ９個が 全部本当に重いのかを テストする方法がありまして。 これは次回に出題できるかどうか 検討中です…… 使用回数は1回
「真実の追究」と「お母さんのご機嫌」を天秤にかける 当然「お母さんのご機嫌」に傾きますよね？ さて、たい焼きを8個買ってきたということは四人家族で一人二個ずつ食べるものと思われます。 そこで… パパ「それじゃあ折角だからお母さんが選らんだのを食べようかな」 太郎「ぼくもー」 二郎「ぼくも、ぼくもー」 もちろん三人は食べたたい焼きがどっちだろうと 「しっぱまであんこが入ってる、さすがお母さん！」とでも言っておきます これでたい焼きの重さは量れなくても「家族の親睦」が「はかれ」ました。 めでたし、めでたし
ナス入りのたい焼きならこれで
千夜一夜
千夜一夜さんの問題文を前提にすれば、
重いタイヤキ27個、軽いタイヤキ27個をお母さんが買ってきても、 天秤使用回数2回で27個全てが重いタイヤキか否かを見分けられそうです  なんかいか？の答えは、 はい、難解です。、、、ではなく、 いいえ、単純です。 が正解となります。 クイズ初心者ですので、天秤問題の前提が間違えているかもしれません。 3のレスには千夜一夜さんの問題の解答しか書いていませんので、 よろしければ正誤判定をお願いします！ 
千夜一夜
>>4 >>でのトンチンカンな私の応接を
おわびいたします。 いきさつは、 >>3 の御返事に書きました。 ご参照願えればと存じます。 今考え直しておりますのは オリンポス山の神々が議論していたことを 私が勘違いしていて 今回はパズルとしての根本の前提を変えてしまっていたのか ということです。 たぶん神々は、 レシートに書かれている重、軽 それぞれの個数について お母さんだけが知っていて それでもお母さんのヤマカンの 正しさを検証する…… しかも検証の担い手はお母さん自身。 その手の設定だったのかもしれません。 ゴチャりと難しいので よく整理したいと思います。 「2回で判定出来る」
お母さんが選んだたい焼きを母123、その他を他12345とします。 また110ｇを重、100ｇを軽とします 1回目 母1母2-他1他2 ・他側が下がった場合→勘は「はずれ」 ・釣り合った場合 →4つとも重 →母3-他3で母3が下がれば「当たり」じゃなければ「はずれ」 ・母側が下がった場合 Ａ：母（重重）他（重軽） Ｂ：母（重重）他（軽軽） Ｃ：母（重軽）他（軽軽）のいずれか…そこで 2回目 母1母2母3-他3他4他5 ・母側が下がらなければ「はずれ」 ・母側が下がった場合 →もし母1か2が軽だとすると、1回目の結果より、他1他2も軽となるので残りは全部重…ならば逆側が全部重で下がるのありえない つまり母1母2の重が確定して、1回目の結果より、他1他2の少なくともどちらかは軽 つまり2回目に量った6つの中に軽は1つか2つ 母3が軽だった場合 →他345の中に軽はあっても1つなので釣り合うか、他345側が下がるはずなのでありえない つまり母側が下がった場合は「あたり」
えらく不細工な解答になってしまいましたが、これでなんとか…
千夜一夜
yoshida さん 正解！！！
いやあ、こんな解法もあるのですね！！！ 悩んでしまいました。とほほ。 皆様の解法はバラエティに富んでいて 興味深く拝見しております。 母が選んだたい焼きを母1～27、選ばなかったたい焼きを1～27とします
1回目 母1～13：14～26 ・釣り合わなかった場合 →上がった方に少なくとも1個は「軽」があるので「はずれ」 ・釣り合った場合 母1～26は全て「軽」か全て「重」で、母1～26と同じ重さのたい焼きは残り1個 2回目 母26母27：他1他2 ・母側が下がらなかった場合＝「はずれ」 ・母側が下がった場合 →もし母26が「軽」なら残り3個のうち「軽」は最大1個 →他側に「軽」が1個あっても釣り合うはずで母側下がりはありえない →母26は「重」 母26が「重」なら残りの3個のうち「重」はあと一つ、それが他側なら釣り合うのでありえない＝「あたり」 まとめると… 1回目 母1～13：母14～26 2回目 母26、27：他1、2 1回目が釣り合って、2回目が母側下がりのときのみ「あたり」
重い軽いともに27個ver（というか同数verなら全部行ける？）の解答
↓確かに！単純な勘違いでしたね… 
千夜一夜
母が選んだたい焼きを母1～母27、選ばなかったたい焼きを1～27とします
1回目 母1～母13：母14～母26 (母27は未計量) ・釣り合った場合 母1～母26は全て「軽」か全て「重」で、母1～母26と同じ重さのたい焼きは残り1個 ↑ここがよくわかりません…… 軽いのを○、重いのを●と図示します。 1回目 母1～母13：母14～母26 ○○○○○○●●●●●●●:○○○○○○●●●●●●● こんなのもあるのではと？ しっぽまで餡のつまったタイヤキの
ひとつの重さを 110 グラムとします。 しっぽがカラのタイヤキの ひとつの重さを 100 グラムとします。 を前提としますと、 軽いタイヤキ11個と重いタイヤキ10個が1100 gで釣り合います。 となれば、お母さんが選んだ27個のうちの20個とそれ以外の27個のうちの22個を天秤に乗せて、 釣り合えばお母さんの選んだタイヤキ20個は全て重いことがわかります。 先ほど選ばなかった7個に関しても、 重いと確定した20個のタイヤキのうちから3個選んで、10個を乗せて、お母さんが選ばなかったタイヤキ11個を乗せれば、OKとなります。
千夜一夜さんの問題文が前提の場合の、
重い軽いともに27個verの答えを囁きます。 天秤使用回数は２回です 
千夜一夜
感動しました
そっかー…… 重さを具体的に規定すると 今度から重さは無理数にしなくては
邪道な解法をお認め頂き、ありがとうございます
同じような戦略を用いれば、私の問題（10 : 11）でも１回で、 お母さんの主張の真偽が確かめられることが簡単にわかると思います。 > 今度から重さは無理数にしなくては 無理数の重さはジョークではあるでしょうけど 10 : 11や27 : 27のように、たい焼きの数が多くなってくると、 無理数にしても同じことが生じ得ると思います。 例えば、単純な例として、 軽い100√2 (≒141.42) gのタイヤキと重い100√3 (≒173.20) gのタイヤキでも、 個数の違うものを両天秤にかけることで重いか軽いか否かを比較できるようになります。 お母さんが主張する重いと思われるタイヤキ4個（≒693g)を左天秤に、 軽いと思われるタイヤキ5個（≒703g）を右天秤に乗せて左天秤が沈めば、 4個のタイヤキが全て重いということが確定されます。 つまり、このような邪道ルートを許さない 正統派論理クイズ（正統派論理クイズは苦手ですが、大好きです ）では、質量に関する定量的な値の記述は避けた方がよさそうです。 とはいっても、前提条件を過度に絞らないことで、 出題の意図とそぐわない別解やボケが生まれるのも クイズの魅力だなぁとは思っています。 タイヤキの質量も考慮した、さらに複雑な正統派天秤問題ができれば面白そうですが、私には想像もできません。 また、重軽の区別がつかず質量もわからない27:27のタイヤキ問題は私には難しすぎて解ける気がしません 
千夜一夜
素晴らしい邪道
以下はオリンポス山の神々からの神託です。 重いタイヤキを● 軽いタイヤキを○ とします。 お母さんは５４個のタイヤキのうち ●が２７個、○が２７個 であることをあらかじめ知っています。 また、いづれのタイヤキが ●なのかあるいは○なのかについて ある程度の知識があるものとします。 お母さんは、それぞれのタイヤキを 下記のようにグルーピングします。 Ａ ＝ ●●● ａ ＝ ○○○ Ｂ ＝ ●●●●●● ｂ ＝ ○○○○○○ Ｃ ＝ ●●●●●●●● ｃ ＝ ○○○○○○○○ Ｄ ＝ ●●●●●●●●●● ｄ ＝ ○○○○○○○○○○ お母さんは、天秤を４回使い 重さについて、下記を得ます。 ① A+Ｂ+ｃ ＞ ａ+ｂ+Ｃ ② A+Ｃ+ｄ ＞ ａ+ｃ+Ｄ ③ ａ+ｂ+Ｄ ＞ A+Ｂ+ｄ ④ ａ+Ｂ+Ｃ+ｄ ＞ A+ｂ+ｃ+Ｄ ●と○との重さの差を ε とします。 ①から④までから、次の⑤から⑧を得ます。≧に注意。 ⑤ A+Ｂ+ｃ ≧ ａ+ｂ+Ｃ +ε ⑥ A+Ｃ+ｄ ≧ ａ+ｃ+Ｄ +ε ⑦ ａ+ｂ+Ｄ ≧ A+Ｂ+ｄ +ε ⑧ ａ+Ｂ+Ｃ+ｄ ≧ A+ｂ+ｃ+Ｄ +ε ⑤、⑥、⑦、の両辺を加えることで Ａ ≧ ａ +３ε を得ます。Ａもａもタイヤキ３個ですから Ａ ＝ ａ +３ε ……(★) が確定しました。すなわち。 Ａが●のみからなること ａが○のみからなることが 証明されました。 ⑤、⑦、⑧の両辺を加えることで ａ+Ｂ ≧ Ａ+ｂ+３ε を得ます。さらに★より Ｂ ≧ ｂ+６ε を得ます。Ｂもｂもタイヤキ６個ですから Ｂ ＝ ｂ+６ε ……(★★) が確定しました。 すなわち。 Ｂが●のみからなること ｂが○のみからなることが 証明されました。 ⑥、⑦、の両辺を加えることで ｂ+Ｃ ≧ Ｂ+ｃ+２ε を得ます。更に★★を考慮すると Ｃ ≧ ｃ+８ε を得ます。Ｃもｃもタイヤキ８個ですから Ｃ ＝ ｃ+８ε ……(★★★) が確定しました。すなわち。 Ｃが●のみからなること ｃが○のみからなることが 証明されました。 ⑤、⑦、の両辺を加えることで ｃ+Ｄ ≧ Ｃ+ｄ+２ε を得ます。★★★を考慮すると Ｄ ≧ ｄ +10ε を得ます。Ｄもｄもタイヤキ１０個ですから Ｄ ＝ ｄ +10ε ……(★★★★) が確定しました。すなわち。 Ｄが●のみからなること ｄが○のみからなることが 証明されました。 以上により（１）から（４）までを 天秤で示すことで、 （★）から（★★★★）までを 示したことになり、 全てのタイヤキの軽重を確定的に 証明できることがわかりました。 私のようなシモジモの庶民は 神々がいかにしてこのような発想を得るのか 全くもって神秘そのものです。 ε、すげーー！！
千夜一夜
がんばりました
お母さんが選んだタイヤキを1--3，他のタイヤキを5--8とし，1--5が重いときを(1, 2, 3, 4, 5)などと表すことにします．
この場合の数は，8C5 = 56通りあります． この56通りですが，「お母さんが3個ともに重いタイヤキなのではないかという」という条件のもとでは，同様に確からしくなく，それぞれの条件付き確率は，1--3が3つとも重い場合（(1, 2, 3, 4, 5)など）は3/105，2つが重い場合（(1, 2, 4, 5, 6)など）は2/105，1つが重い場合（(1, 4, 5, 6, 7)など）は1/105，全部軽い場合（(4, 5, 6, 7, 8)）は0になります． 1回目 左に1, 2, 3，右に4, 5, 6を載せます． 釣り合った場合，右の方が重かった場合はお母さんの勘は外れです． {1, 2, 3}，{4, 5, 6}，{7, 8}から何個ずつ重いタイヤキにするかを考えて， 確率：1/105×3C1×(3C2×2C2 + 3C3×2C1) + 2/105×3C2×(3C2×2C1 + 3C3) = 57/105 1回目に左の方が重かった場合 2回目 左に1，2，3，右に4，7，8を載せます． 左の方が重かった場合はお母さんの勘は当たりです． {1, 2, 3}，{4, 5, 6, 7, 8}から何個ずつ重いタイヤキにするかを考えて 確率：3/105×3C3×5C2 = 30/105 釣り合った場合，右の方が重かった場合はお母さんの勘は外れです． {1, 2, 3}，{4}, {5, 6}，{7, 8}から何個ずつ重いタイヤキにするかを考えて， 確率：2/105×3C2×(1C0×2C1×2C2 + 1C1×2C0×2C2) = 18/105 平均回数は1×57/105 + 2×48/105 = 51/35（回）
お母さんの勘については，タイヤキが3つとも重いときお母さんは必ず「3個ともに重いタイヤキなのではないか」といい，ちょうど2つが重いとき2/3の確率で，ちょうど1つが重いとき1/3の確率で同様にいい，3つとも重くないときお母さんはいわないとしました．
この前提で，天秤の平均使用回数をしぼってみました． 多分，そういう問題じゃないですよね……  ↓Aliceがランダムに選んでofferしてるとして，平均回数をしぼってみるとかですかね……ややこしそう
千夜一夜
↑↑
なにか凄そう  期待値を計算しました。ほえーー Problem. こちらの問題向きかもしれません……と煽ったりしてはいけませんね、… 
貰った４枚のコインを２枚ずつ左右の天秤で測定
パターン１：どちらかに天秤が傾いた場合 偽物のコインが入っていることが確定 パターン２：釣り合った場合 貰ったコインは、 ①本本本本 ②本本偽偽 ③偽偽偽偽 のいずれかとなる。 左天秤：貰った４枚 右天秤：余った７枚のうちの４枚 左に傾けば① 右に傾けば②or③ 釣り合えば② となり、４枚とも本物かorそれ以外かを確定させることができる。
１１個のメダルの解答
千夜一夜
バッチリですね
 意外と初手が難しいと個人的な感想です。 Aliceのofferしたコインを1--4，そのほかのコインを5--11とします．
1回目 1, 2, 3, 4, 5を左に，6, 7, 8, 9, 10を右に載せます． 釣り合った場合，右の方が重かった場合はfakeが混ざっていることになります． 1回目に左の方が重かった場合 {1, 2, 3, 4, 5}，{6, 7, 8, 9, 10, 11}から何個ずつrealにするかを考えて， 確率：1/11C7×(5C4×6C3 + 5C5×6C2) = 23/66 2回目 1, 2を左に，3, 4を右に載せます． どちらかに傾けば，fakeが混ざっていることになります． 釣り合えば，すべてrealです． 平均回数は1×(1 - 23/66) + 2×23/66 = 89/66（回）
AliceとBobのコインのやつ，やってみました．
天秤の使用回数（平均）をしぼっています．
千夜一夜
いやあ、この初手は思いがけませんでした。
素晴らしいです。 期待値こそ変わりますが 初手と２手目とを交換するのもアリですね！ お母さんの財布からこっそり１円玉(1g)をたくさん取り出して、、、
おかあさん「コラ、人のお金を盗んじゃいけません！」 怒られたので、まじめに。 おかあさんが選んだたいやきはA,B,C 選ばなかったたいやきはD,E,F,G,Hとしておく。 １回目 ABC-DEF ここで釣り合ったり、DEF側に傾いたら落第(釣り合った場合、ABCに重いタイ焼きが３個あるとき、DEF側にも３個あることになって重いタイ焼きが６個になる。) ２回目 ABC-DGH ここでも、釣り合ったりDGH側に傾いたらABCに軽いタイ焼きが含まれているが、再度ABC側に傾いた場合、ABCに重いタイ焼きが３個と確定する。 理由は以下の通り。 重いタイ焼きがABC側に０個の場合、ABC側に傾くことはない。 １個の場合、軽いタイ焼きが３個なので、６個取ったら必ず３個以上は重いタイ焼きなので、ABCの反対側に２個以上重いタイ焼きがある。よってABCに傾くことはない。 ABCに２個の場合、１回目は運よくABC側に傾くかもしれないが、その場合はDEF側にちょうど１個のタイ焼きが乗っていることになる（少なくとも合計３個は重いタイ焼きなので。）しかし、その場合はGHが両方重いタイ焼きなので、DGH側には２個以上のタイ焼きが乗る。したがって、やはりABCに傾くことはない。 よって、２回ともABC側に傾いたら、ABCに必ず３個重いタイ焼きがある。
たいやき食べたことない
千夜一夜
けんさん、正解！！！
綺麗なまとめかたでした。 タイヤキ食べましょうよ。
母が選んだたい焼きをabc,それ以外をd〜とします
1回目 左ab 右cd 2回目 左c 右d 2回とも左が重いか、2回とも釣り合えばOKそれ以外はNG 別解 お母さんが選ばなかったたい焼き5尾を全部52等分します 左にお母さんの選んだ3つ、右に52等分した内の33個×5尾 釣り合えばOK 重いの3尾=330g 重いの2尾＋軽いの3尾=520gなので、お母さんが全部重いのを選んでいたら330=520×33/52で釣り合うはず 52等分にするのは難しそうですが。
別解はちょっと無理がありますかね
千夜一夜
実に素晴らしいです ＞別解 ＞お母さんが選ばなかったたい焼き5尾を全部52等分します ＞左にお母さんの選んだ3つ、右に52等分した内の33個×5尾 ＞釣り合えばOK ＞重いの3尾=330g 重いの2尾＋軽いの3尾=520gなので、お母さんが全部重いのを選んでいたら330=520×33/52で釣り合うはず ＞52等分にするのは難しそうですが。 こっこれは 
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