問題１:4
問題２:7

4人の実力をA,B,C,Dとします。
2回の試合をします。A:B,C:D
一般性を失うことなく、
A＞B,C＞D とできます。
３回目の試合として、A:Cをします。
一般性を失うことなく、
A＞C
とできます。
１位はAと定まりました。
あとは２位決定戦として B:C をします。これが４回目の試合。

私が述べた「７試合で定まる」というのは間違いでした。早とちり。

５人の実力をソートするのに7試合で済む方法は知られていますので、暫定３位の人と、残る１人とで試合を組めば、上位３名は判明します。計８試合となります。

問題1．

まず適当な3チームを選んで順位を確定させます．
全ての組み合わせ(3回分)の試合を行えば完全な順位が確定出来ますが，
運が良ければ2回で済む可能性もあります．
具体的には最初の2試合両方に出場するチームが，
3チーム中で2番目の強さを保有するときに，
2回目の結果までで全ての力関係が分かりますが，
対戦順序を無作為に決めるとするとそのようになる確率は1/3です．

この時点で3チーム中一番強いチームはKOステージへの進出が確定し，
一番弱かったチームはKOステージに進出出来ないことが確定します．
あとは2番目のチームと残ったチームを対戦させれば，
最後のKOステージ進出チームが決定します．

従って総合的な試合回数期待値は，
1/3*3+2/3*4=11/3回です．


問題2．

この場合自分より弱いチームが3チームあればKOシリーズへの進出が確定します．
従って適当な4チームを選んで一般的な形の平等なトーナメント表を作れば，
3回の試合でKOシリーズに進出するチームを1チーム決定できます．
この手順を3回繰り返すことで9試合で全てのKO進出チームを決定できますが，
2回目以降のトーナメント表の作り方を工夫することで，
試合数を削減することが出来ます．

例えば最初のトーナメントではAチームがBチームに勝ち，CチームはDチームに勝ち，
その後決勝戦でCチームがAチームに勝ち進出を決めた状況を考えます．
このときAチームとBチームはKO進出候補に残っていますが，
既に一度対戦を行っている状態です．
従って2回目のトーナメント表を作るときの第1試合をA対Bとしてしまえば，
一回分試合する手間が省けます．
よって残り2試合で2番目のKO進出チームを確定出来ます．

3回目のトーナメント表でも同様のことは出来るので，
結局3+2+2=7試合で全てのKO進出チームが確定できます．
このやり方の場合試合回数が確率で変わることは無いので，
試合回数の期待値は7回です．

問題１
1. A vs B
2. C vs D
3. 1勝者 vs 2敗者
2敗者が勝てば、CとDがKO進出決定。
1勝者が勝てば、1勝者はKO進出決定。残りの１枠を
4. 1敗者 vs 2勝者
で争ってもらう。なお、この時点で2敗者は2名に負けたので、KO進出できない。
期待値は、試合3で1勝者が勝つパターンが1/6で、2勝者がかつパターンが5/6なので、23/6


問題２
1. A VS B
2. C vs D
3. E vs F
4. 1勝者 vs 2 敗者
２敗者が勝ったら、1と同様の解き方で、６回か、運が良ければ５回
１勝者が勝ったら
5. 1勝者 vs 3敗者
3敗者が勝ったらE,FはKO進出決定。
残り１枠を1勝者vs2勝者で争う。６回。
1勝者が勝ったら1勝者はKO進出決定。
次に3勝者と2敗者で戦う。
6. 3勝者 vs 2敗者
2敗者が勝ったらE,Fは脱落。残り１脱落を1敗者vs2敗者で決める。
3勝者が勝ったら、EFの勝敗だけついているので、問題１のような試合を行なえば合計で9回か、運が良ければ８回で決まる。
最大で９回だけど、運が良ければ５回で終わる。期待値は知らない。（計算がかなり複雑になる。）

１手目は必然で、
２チームを任意に選び、対戦させます
。
勝ったほうの実力をA，負けたほうの実力をBとします。

実力が大きいほうが勝つものとします。
すなわち、
A＞B
となります。
残りの２チームの実力をC,Dとします。

以上が１手目です。

２手目は、B,Cの戦いです。
結果は、２つに分岐します。
2-1と2-2と書くこととします。
2-1:B＞C
2-2:B＜C
２つの分岐は上の通りとなります。

それぞれが起きる確率は
2-1:B＞C：1/3
2-2:B＜C：2/3
です。

以上が２手めです。

３手目以後は２手目での分岐別に書きます。

◆2-1（B＞C）1/3で発生。
A＞B＞C ですから 次が明らかとなります。
◎Cが３位以下
◎Aが２位以上
◎Bは２位または３位。

こうなれば４手めはB,Dの一騎打ちです。
B,Dどちらが勝っても、上位２位が決まります。

手数の期待値への、この分岐からの寄与は即ち、
(1/3)*4=4/3
となります。

◆2-2 （B＜C）2/3で発生。
このとき、以下が明らかになります。
�@Bは３位以下。
�AAとCとの大小関係不明。

ここでBは上位２位からは脱落。

再度まとめなおすと、
互いに大小関係がわからないA,C,D
から最下位を決めたい、あと何手？

３手目でAとCとを比較し、４手めで
負けたほうとDとを比較すれば、３チーム内での最下位が決まります。

手数の期待値への、この分岐からの寄与は即ち、
(2/3)*4=8/3
となります。

２つの分岐からの寄与を合算すると、
4/3＋8/3＝4
となります。

6で3勝者が勝った場合、2敗者は1勝者・2勝者・3勝者に負けたことになるので、脱落決定。
残り
1敗者
2勝者
3勝者
3敗者
なので、
7. 1敗者 vs 2勝者
8. 7勝者 vs 3敗者
3敗者が勝てば1勝者・3勝者・3敗者がKO進出決定。
7勝者が勝てば1勝者・7勝者がKO進出決定で、残りの1枠を
9. 7敗者 vs 3勝者
で争ってもらう。

問題１
第２試合までを
1. A vs B
2. C vs D
で行うと、次の試合では必ず第１試合と第２試合のチームが戦うことになる。この時、勝者同士を戦わせると、
3. 1勝者 vs 2勝者
で、3勝者はKO進出決定だが、2着がわからないため、必ず４試合かかる。
敗者どうしを戦わせてもやはり４試合かかる。

もっと試合数を減らすには、第２試合を変える必要がある。
試しに
2. 1勝者 vs Cとすると、、、！
Cが勝てばCがKO進出決定。1敗者は脱落で、残り１枠を
3. 1勝者 vs Dで争える。
なお、こうなる確率は1/3
一方で、2/3を引いて1勝者が勝った場合、1勝者はKO進出決定。第３試合は
3. C vs Dを行う。
どちらが勝っても、
4. 1敗者 vs 3勝者
として、勝った方がKO進出となる。
このパターンだと、期待値は11/3試合となるので、23/6より僅かに優秀。

答え
1. A vs B
2. 1勝者 vs C
2でCが勝てばCがKO進出決定。
3. 1勝者 vs D
で勝った方がKO進出決定。
2で1勝者が勝てば1勝者がKO進出決定。
3. C vs D
4. 1敗者 vs 3勝者
で勝った方がKO進出決定。

期待値は11/3試合

問題2．

ここでは最初に具体的な試合プロセスを述べることにして，
期待値の計算は後で行うことにします．

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余談ですが解答を考えるときは，
各点をそれぞれのチームに対応させたグラフを考え，
1試合行うごとに勝ったチームから負けたチームに向かって，
矢印を引いた図を考えて解きました．
解答では図を書く方法が分からなかったので不等式で表しましたが，
お手元で図を書きながら読んでいただくと読みやすいかもしれないです．

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最初に無作為に2チーム選んで対戦を行います．
以下その試合が初試合となるようなチームを選ぶ状況では，
まだ一度も試合を行っていないチーム(残りのチームと呼ぶことにします)
の中から無作為に選ぶものとします．

次に最初の試合の勝者と残りのチームの中の1チームで試合を行います．
このとき2つのケースが考えられます．

ケース1．
A>B>C
ケース2．
A>B，A>C

以下各チームの名前をA,B,C,D,E,Fと書くことにします．
ただし最初に全てのチームに名前を割り振るのではなく，
そのチームが他のチームと区別できるようになった段階で，
名前を付けることにします．
(最初に名前を付けることにしてしまうと，
上のような場合A>B>Cが起きる場合は最初の対戦はB対Cでなければなりませんが，
そうするとケース2を書くときにB>A, B>Cと書かざるを得なく，
見づらくなってしまいます．)
ケース1のAとケース2のAは異なる可能性がありますが，
ケース1以降の議論に出てくるAは全て同じチームを表します．

まずケース1について考えます．
この場合は次の第三試合ではBと残りの1チームを対戦させます．
ここでも2つの可能性が考えられます．

ケース1-1．
A>B>C，B>D
ケース1-2．
A>B>C，B<D

先にケース1-1を考えます．
この時点でAはB,C,Dの3チームより強いので，KO進出が確定します．
次の第四試合ではBと残りの1チームを対戦させます．
ここでも場合分けがあります．

ケース1-1-1．
E>B，B>C，B>D
ケース1-1-2．
B>E，B>C，B>D

ここでは既に結果が確定したAに関する条件は省略しました．
以降冗長な条件は適宜省略しますが，いずれのケースでも，
つねにそれ以前の全ての条件を隠し持っています．

ケース1-1-1について考えます．
この場合はEがKOに進出することが確定するので残りの枠は1枠です．
またCとDはBより弱いので残りの1枠には入れません．
従って第五試合でBとFで対戦を行い勝ったほうがKO進出確定です．
都合5回の試合で全て確定させることが出来ます．
これをパターン1と呼ぶことにします．

パターン1(5回)


続いてケース1-1-2について考えます．
この場合はBが2枠目に入り残り一枠ですが，
C，D，E，Fの全チームに進出の可能性が残ります．
仕方がないのでトーナメント(3試合)で最後の枠を決めます．
この場合をパターン2とします．

パターン2(7回)


ここでケース1-2に戻りますが，本問題は上位3チームを決める問題であると同時に，
下位3チームを決める問題であるとみなすことも出来ます．
1-1と1-2の条件は強弱をいれかえると対称なので1-1の戦略について，
勝ち負けの結果を逆にして問題を下位3チームを求めるものと読み替えれば，
(対称的に)全く同じ結果を得ることが出来ます．
パターン1，パターン2に対応するものをそれぞれパターン1'，パターン2'とします．

パターン1'(5回）
パターン2'(7回)


続いてケース2について考えます．
第三試合ではCと残りの1チームを対戦させます．
ここでBとCは対称ですが，以降は第１試合で負けたチームをB，
第二試合で負けたチームをCと呼ぶことにします．

ケース2-1．
A>B，A>C，C>D
ケース2-2．
A>B，A>C，D>C

まずはケース2-1を考えます．
この場合はAが最初のKO進出チームとなります．
第四試合ではCと残りの1チームを対戦させます．

ケース2-1-1．
E>C，C>D
ケース2-1-2．
C>E，C>D

ケース2-1-1の場合を考えます．
第五試合ではBとCを対戦させます．

ケース2-1-1-1．
E>C，C>B，C>D
ケース2-1-1-2．
E>C，B>C，C>D

ケース2-1-1-1ではEが2枠目の進出チームとなります．
第六試合でCとFを対戦させて勝ったほうが3枠目です．
これをパターン3とします．

パターン3(6回)


ケース2-1-1-2の場合はC，Dが進出候補から外れます．
(仮にCが進出すると仮定するとEとBも進出することになるが，
残り2枠しか無いのでこれは不可能．)
よってB，E，Fの中の上位2チームが進出することになります．
したがってあとは3チーム中最弱のチームを割り出せば，全ての枠が確定します．
適当な2チームで第六試合を行い，
その敗者と残りのチームで第7試合を行えばその敗者が最弱であることが分かります．
これをパターン4とします．

パターン4(7回)


続いてケース2-1-2を考えます．
第五試合ではEとFを対戦させます．

ケース2-1-2-1．
C>E，E>F，C>D
ケース2-1-2-2．
C>E，F>E，C>D

ケース2-1-2-1について考えます．
この場合はCが2枠目を取ります．
残り1枠なのでEに負けたFは進出不可能です．
B，D，Eの中の最強のチームが3枠目を獲得します．
適当な2チームで第六試合を行いその勝者と残りのチームで第七試合を行えば，
最強のチームが判明します．
これをパターン5とします．

パターン5(7回)


次にケース2-1-2-2を考えます．
この場合Eが進出候補から外れます．
B，C，D，Fで残り2枠を争います．
第六試合ではCとFで対戦させます．

ケース2-1-2-2-1．
F>C>D
ケース2-1-2-2-2．
C>D，C>F

ケース2-1-2-2-1ではFの進出が確定します．
第七試合でBとCで試合を行い勝ったほうが第三枠を獲得します．
これをパターン6とします．

パターン6(7試合)


ケース2-1-2-2-2ではCの進出が確定します．
B，D，Eの中の最強チームが第三枠を獲得しますが，
これまでと同様に2試合あれば最強チームを決定できます．
これをパターン7とします．

パターン7(8試合)



続いてケース2-2を考えます．
第四試合ではDと残りの1チームを対戦させます．

ケース2-2-1．
A>B，A>C，E>D，D>C
ケース2-2-2．
A>B，A>C，D>E，D>C

ケース2-2-1ではCが進出できないことが確定します．
残りの5チーム中下位の2チームが分かれば全ての進出チームが分かります．
第五試合でBとDで対戦し，負けた方は(F以外に勝てるチームは無いので)，
進出出来ないことが確定します．
第五試合でBが負けた場合はA，E，Fの中の最弱のチームが，
最後の進出不可能なチームになります．
第五試合でDが負けた場合はB，E，Fの中の最弱のチームが，
最後の進出不可能なチームになります．
いずれも残り2試合で最弱を決められます．
これをパターン8とします．

パターン8(7試合)


続いてケース2-2-2を考えます．
第五試合ではCとFを対戦させます．

ケース2-2-2-1．
A>B，A>C，D>E，D>C，C>F
ケース2-2-2-2．
A>B，A>C，D>E，D>C，F>C

ケース2-2-2-1ではAとDの進出が確定します．
B，C，Eで最後の1枠を争いますが，これは2試合あれば事足ります．
これをパターン9とします．

パターン9(7試合)


ケース2-2-2-2ではCが進出出来ないことが確定します．
残りの5チーム中下位の2チームが分かれば全ての進出チームが分かります．
第六試合でBとEで対戦し，負けた方は(F以外に勝てるチームは無いので)，
進出出来ないことが確定します．
第六試合でBが負けた場合はA，E，Fの中の最弱のチームが，
最後の進出不可能なチームになります．
第六試合でEが負けた場合はB，D，Fの中の最弱のチームが，
最後の進出不可能なチームになります．
いずれも残り2試合で最弱を決められます．
これをパターン10とします．

パターン10(8試合)


ここまでで一つの戦略が作れました．
続いてこの戦略における試合回数の期待値を求めます．
そのためにそれぞれのパターンが発生する確率を求めます．

パターン1．
パターン1が起こるのは最初にケース1(A>B>C)が起こり，
続いてケース1-1(B>D)が起こり，
最後に1-1-1(E>B)が起こる場合です．
これを頭から順に計算していくのは少し厄介です．
特に1-1-1の計算ではこの段階でのE,Bの強さに関する，
条件付き確率を考えますが，その計算は大変です．
そこで少し考え方を変えることで計算を工夫します．

各チームの強さを1から6の整数で表すことにします．
6が一番強く1が最弱です．
初出場時のチーム選びを無作為に設定しました．
したがって各チームの強さがどうなるかの確率は無作為であり，
これは1から6までの相異なる整数が書かれた6枚のカードをシャッフルして，
AからFに配りそれをそれぞれの強さとする，
という試行を行ったときの確率と一致します．
カードを配る順番を変えても確率は変わりません．

パターン1では最初にFにカードを配り，次にE，Dの順で配り，
最後にA，B，Cに配ることを考えます．
パターン1が起こるのがどういう配られ方のときになるのか考えます．
Fのカードは全く影響を及ぼさないので残りの5枚だけを考えます．
BはDとEに配るカードを除いた3枚の内2番目に強いカードです．
Dがこれに負けなおかつEがこれに勝つためには，
Dのカードが5枚中下位2枚のどちらかであり，
Eのカードが5枚中上位2枚のどちらかである必要があります．
(EはB,C,Dに勝つ必要があり，DはA,B,Eに負ける必要があります．)
逆にこれが満たされる場合は必ずDはBに負けEはBに勝ちます．
(下位二枚はDとCからなり上位2枚はAとEからなるのでBは3番目になります．)
結局最初にEが上位2枚のどちらかを取り，
Dが残った4枚のうち下位2枚のどちらかを取れば良いので，
その確率は2/5*2/4-1/5です．
またケース1(A>B>C)が起こるのはDとEに配ったあと,
残りの三人に配る段階で，
第１試合にでる2チームに一番強いカードが配られない場合です．
つまり第2試合が初出場となるチームが3枚中一番強いカードを取る場合で，
その確率は1/3です．
したがって最終的に求めるべき確率は．
2/5*2/4*1/3=1/15です．

パターン2．
パターン2が起こるのは最初にケース1(A>B>C)が起こり，
続いてケース1-1(B>D)が起こり，
最後に1-1-2(E<B)が起こる場合です．
パターン1と同様に考えると，
D,Eがともに5枚中下位3枚に入れば良いことが分かります．
ケース1が起きるのは相変わらず1/3です．
したがって求めるべき確率は，
3/5*2/4*1/3=1/10です．

パターン1'とパターン2'はそれぞれパターン1とパターン2と一致します．

パターン3．
パターン3が起こるのは
ケース2(A>B，A>C)，
ケース2-1(C>D)，
ケース2-1-1(E>C)，
ケース2-1-1-1(C>B)
が起きる場合です．
CはA，B，Cの中で真ん中の強さでDはCより弱く，EはCより強いです．
これはDに5枚中下位2枚の，Eに5枚中上位2枚のカードが配られ，
残り3枚のうち2番目の強さを持つカードが，
第二試合で初めて登場するチームに割り当てられる場合に対応します．
求めるべき確率は，
2/5*2/4*1/3=1/15です．

パターン4．
パターン4が起こるのは
ケース2(A>B，A>C)，
ケース2-1(C>D)，
ケース2-1-1(E>C)，
ケース2-1-1-2(C<B)
が起きる場合です．
CはA，B，Cの中で最弱でDはCより弱く，EはCより強いです．
これはDに5枚中最弱のカードが配られ，Eは5枚中上位3枚のカードが配られ，
残り3枚のうち最弱のカードが，
第二試合で初めて登場するチームに割り当てられる場合に対応します．
求めるべき確率は,
1/5*3/4*1/3=1/20です．

パターン5．
パターン5が起こるのは
ケース2(A>B，A>C)，
ケース2-1(C>D)，
ケース2-1-2(C>E)，
ケース2-1-2-1(E>F)
が起きる場合です．
ここではFも含め6枚分のカードの行方を考える必要があります．
CがA，B，Cの中で2番目に強い場合と最弱の場合に分けて考えます．

Cが2番目に強い場合はD，E，Fが6枚中下位4枚を割り当てられ，
さらにEはFより強く第二試合で初参加するチームはA，B，Cの中の，
2番目のカードが配られる必要があります．
そうなる確率は4P3/6P3/2*1/3=1/30です．
ここで4P3は順列を表し4P3=4!/1!=24です．

Cが最弱の場合はD,E,Fが6枚中下位3枚に入り，
E>Fが成り立つ必要があります．
そうなる確率は3P3/6P3/2*1/3=1/120です．
したがって求めるべき確率は，
1/30+120/1=1/24です．

パターン6．
パターン6が起こるのは
ケース2(A>B，A>C)，
ケース2-1(C>D)，
ケース2-1-2(C>E)，
ケース2-1-2-2(F>E)
ケース2-1-2-2-1(F>C)
が起きる場合です．
CがA，B，Cの中で2番目に強い場合と最弱の場合に分けて考えます．

Cが3枚中2番目に強い場合はD,Eは6枚中下位3枚が割り当てられる必要があります．
またFは6枚中上位2枚が割り当てられる必要があります．
そうなる確率は3/6*2/5*2/4*1/3=1/30です．

Cが3枚中最弱の場合はD，Eは6枚中下位2枚である必要があります．
またFは6枚中上位3枚であれば良いです．
そうなる確率は2/6*1/5*3/4*1/3=1/60です．

したがって求めるべき確率は，
1/30+1/60=1/20です．

パターン7．
パターン7が起こるのは
ケース2(A>B，A>C)，
ケース2-1(C>D)，
ケース2-1-2(C>E)，
ケース2-1-2-2(F>E)，
ケース2-1-2-2-2(C>F)
が起きる場合です．
CがA，B，Cの中で2番目に強い場合と最弱の場合に分けて考えます．

Cが2番目に強い場合はD,E,Fは6枚中下位4枚であれば良いです．
またF>Eである必要があります．
こうなる確率は4P3/6P3/2*1/3=1/30です．

Cが3枚中最弱の場合はD，E，Fは6枚中下位3枚であれば良いです．
またF>Eである必要があります．
こうなる確率は3P3/6P3/2*1/3=1/120です．

したがって求めるべき確率は，
1/30+1/120=1/24です．

パターン8．
パターン8が起きるのは
ケース2(A>B，A>C)，
ケース2-2(D>C)，
ケース2-2-1(E>D)
が起きる場合です．
再びFは無関係なのでAからEの5枚のみを考えます．
CがA，B，Cの中で2番目に強い場合と最弱の場合に分けて考えます．

Cが3枚中2番目に強い場合はD，Eは5枚中上位3枚以内です．
またE>Dが成り立つ必要があります．
こうなる確率は3P2/5P2/2*1/3=1/20です．

Cが3枚中最弱の場合はD，Eは5枚中上位4枚以内です．
またE>Dが成り立つ必要があります．
こうなる確率は4P2/5P2/2*1/3=1/10です．

したがって求めるべき確率は，
1/20+1/10=3/20です．

パターン9．
パターン9が起きるのは
ケース2(A>B，A>C)，
ケース2-2(D>C)，
ケース2-2-2(D>E)，
ケース2-2-2-1(C>F)
が起きる場合です．
CがA，B，Cの中で2番目に強い場合と最弱の場合に分けて考えます．
Eを一旦無視して残りの5枚の相対的な強弱を考えます．

Cが3枚中2番目に強い場合はDは5枚中上位2枚でFは5枚中下位2枚以内です．
ここでDに対してEが満たすべき条件を考えます．
Dが5枚中最強の場合はEの値は5以下であれば良いです．
Dが5枚中2番目に強い場合はEの値は4以下であれば良いです．
それぞれの確率を足し合わせると，
5/6(Eの条件)*1/5(D最強)*2/4(Fの条件)*1/3(Cの条件)+
4/6(Eの条件)*1/5(D上から2番目)*2/4(Fの条件)*1/3(Cの条件)
=9/6*1/30=1/20です．

Cが3枚中最弱の場合はDは5枚中上位3枚でFは5枚中最弱です．
Dが5枚中最強の場合はEの値は5以下であれば良いです．
Dが5枚中2番目に強い場合はEの値は4以下であれば良いです．
Dが5枚中3番目に強い場合はEの値は3以下であれば良いです．
それぞれの確率を足し合わせると，
(5/6+4/6+3/6)*1/5*1/4*1/3=1/30です．

したがって求めるべき確率は，
1/20+1/30=1/12です．

パターン10．
パターン10が起こるのは
ケース2(A>B，A>C)，
ケース2-2(D>C)，
ケース2-2-2(D>E)，
ケース2-2-2-2(F>C)
が起きる場合です．
CがA，B，Cの中で2番目に強い場合と最弱の場合に分けて考えます．
Eを一旦無視して残りの5枚の相対的な強弱を考えます．

Cが3枚中2番目に強い場合はD，Fは5枚中の上位3枚です．
Dが5枚中最強の場合はEの値は5以下であれば良いです．
Dが5枚中2番目に強い場合はEの値は4以下であれば良いです．
Dが5枚中3番目に強い場合はEの値は3以下であれば良いです．
すべての場合を足し合わせると，
(5/6+4/6+3/6)*1/5*2/4*1/3=1/15です．

Cが3枚中最弱の場合はCは5枚中でも最弱です．
第二試合で初登場するチームに割り当てられるカードが５枚中最弱なら良いです．
Dが5枚中最強の場合はEの値は5以下であれば良いです．
Dが5枚中2番目に強い場合はEの値は4以下であれば良いです．
Dが5枚中3番目に強い場合はEの値は3以下であれば良いです．
Dが5枚中4番目に強い場合はEの値は2以下であれば良いです．
すべての場合を足し合わせると，
(5/6+4/6+3/6+2/6)*1/5*1/4=7/60です．

求めるべき確率は，
1/15+7/60=11/60です．

全てのパターンの確率が計算できました．
改めて結果をまとめます．
ただしパターン1と1',2と2'はそれぞれ合わせて一つのパターンI,IIとします．

パターンI (5回) 2/15
パターンII (7回) 1/5
パターン3 (6回) 1/15
パターン4 (7回) 1/20
パターン5 (7回) 1/24
パターン6 (7回) 1/20
パターン7 (8回) 1/24
パターン8 (7回) 3/20
パターン9 (7回) 1/12
パターン10 (8回) 11/60

これらからこの戦略の期待値を求めると，
5*2/15+6*(1/15)+7*(1/5+1/20+1/24+1/20+3/20+1/12)+8*(1/24+11/60)
=2/3+2/5+7*23/40+8*9/40
=(80+48+483+216)/120
=827/120≒6.892回となります．