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 ポンコツ電子秤
難易度：★
 千夜一夜
2022/06/10 10:51
見かけが同じで区別ができない電子秤の試作品が４台ありました。 電子秤は、そのへんに売っている体重計みたいな使い方をします。 ものを乗せると、その重さを ＬＥＤ表示部にグラム単位で示してくれるものです。 どれも、まだ試作品なので、 １回使うと表示部に示された重さがそのまま残り続け、 ２回目以降、どのような品物を乗せても、 １回目に乗せた品物と同じ重さを表示してしまう ポンコツです。早い話が、１回コッキリしか使えません。 かてて加えて、 ４台のうち３台は、重さを数字で表示したときに、 １の位の数字が１であるべきときに０を、 １の位の数字が０であるべきときに１を、 誤って表示してしまうポンコツです。 たとえば、 乗せた品物が１５１ｇならば１５０ｇと表示され、 乗せた品物が５００ｇならば５０１ｇと表示されるのです。 このように１の位の誤表示が発生しているのは、 ４台のうちの３台のみで、 残りの１台は、正しく１の位の数字を表示します。 ４台の電子秤は見かけが同じで区別ができないので… １の位の数字を見てもそれが本当なのか嘘なのか、 本当にわかりにくいです。 さて。 ４枚の金貨があります。 うち１枚の本物の金貨の重さは１１ｇで、 残りの３枚は１０ｇの偽物です。 ４台のポンコツ電子秤のみを使って、 １枚の本物の金貨を確実に特定できる方法を 考えてみてください。 問題文は一見めんどくさそうですが、 よくよく整理すると、天からアイデアが降りてきて 意外と解くのは簡単だったりしますです。 ■ヒント。 もしも難しいと感じたならば、 まずは、３枚中１枚の本物の金貨を ４台のポンコツ電子秤で 特定してみてください。 それでも難しいと感じたならば、 まずは、２枚中１枚の本物の金貨を ４台のポンコツ電子秤で 特定してみてください。
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本物の金貨をA、偽物の金貨をB、
正しく表示する秤を正、誤って表示する秤を誤とします。 4枚をAB(21g)・BB(20g)の2組に分けて、各々2台の秤で量ります。 (1)秤が誤2台の場合 AB・BBの表示は20g・21gとなりますから、20gはAB、21gはBBだと分かります。 次にABを3台目の秤(正か誤)で量ります。 ①表示が20gなら3台目の秤は誤で、4台目の秤は正。 4台目の秤でAまたはBを量り、表示が11gならA、10gならB。 ②表示が21gなら3台目の秤は正で、4台目の秤は誤。 4台目の誤でAまたはBを量り、表示が10gならA、11gならB。 (2)秤が正と誤の場合 AB・BBの表示は、21ｇ・21ｇまたは20ｇ・20gとなります。 21g・21g(20g・20gの場合も同様)の どちらか一方を3台目の秤(誤)で量り、 20gの表示ならAB、21gならBB。 次に4台目の秤(誤)で、AまたはBを量り、 表示が10gならA、11gならB。 
この方法で特定できると思うのですが…
（説明が分かりにくいかもしれません） 
千夜一夜
正解! こういう量り方があるのですねっ！！！！！！！ 知らなかったです…… 想定解とは異なっていますけれども まごうことなき正解です。感服いたしました。 ＼(^ﾍ^)(^ﾌ^)／
ヒントを放出します。 以下、 1の位が誤表示される秤を「嘘つき秤」、 1の位が正しく表示される秤を「正直秤」 と言うことにいたします。 ■参考１ １０ｇの偽物金貨１枚と１１ｇの本物金貨１枚と、あわせて２枚があるとしましょう。 「正直秤」であると確定している１台の秤があれば、 本物金貨を特定できます。 同様に、「嘘つき秤」であると確定している１台の秤があれば、 本物金貨を特定できます。 ■参考２ １０ｇの偽物金貨であるのか、それとも １１ｇの本物金貨であるのか、 はっきりしていない金貨が１枚あるとします。 また、みわけのつかない３台の秤があり、うち１台は正直秤で残り２台が嘘つき秤だとします。 くだんの金貨１枚を、全ての秤で計量してみれば、 その結果は２対１で評価が割れます。 むろん、少数意見が正しい結果を示しています。 ■参考３ １０ｇの偽物金貨であるのか、それとも １１ｇの本物金貨であるのか、 はっきりしていない金貨が１枚あるとします。 また、みわけのつかない４台の秤があり、 うち１台は正直秤で残り３台が嘘つき秤だとします。 くだんの金貨１枚を、全ての秤のなかからランダムに選んだ ３台で計量してみれば、 ３台の評価が一致する場合と、 ２対１で評価が割れる場合と、 ２つ通りのケースが発生します。 このとき、未使用の残り１台が正直秤なのか嘘つき秤なのか 確定します。 以上は、出題者が想定している解法へのヒントとなります。 そっくりそのままではありませんけれども。 ほえほえ
想定していた解を発表します。 以下、 1の位が誤表示される秤を「嘘つき」、 1の位が正しく表示される秤を「正直秤」 と言うことにいたします。 「正直秤」が１台、「嘘つき」が３台、あるのでした。 （これらの秤は、みわけがつきません。） また、 １０ｇの偽物金貨３枚と１１ｇの本物金貨１枚と、 あわせて４枚があるのでした。 （これらの金貨は、みわけがつきません。） 金貨をＡ、Ｂ、Ｃ、Ｄとします。 Ａ、Ｂの２枚を、続けざまに３回、重さを量ります。 （すなわち、４台の秤のうち３台を使いきります。） この時点で、 未使用の秤が、正直秤なのか、はたまた嘘つきなのか 判明します。 なぜならば、 使用済みの３台による計量結果が 全て一致したときには その３台は全て嘘つきであり、 一致しないときには（２対１で結果がわかれる） 正直者が既に使われたとわかるからです。 残された未使用の１台が正直秤なのか、嘘つきなのかが これでわかった、ということは大きなアドバンテージです。 また、この同じ時点で、１枚の本物の金貨が、 Ａ、Ｂのうちの１枚なのか、 Ｃ、Ｄのうちの１枚なのか についても既に判明しています。 使った３台の計量結果のうち、多数派は、 （結果は３対０、または２対１となっています） 必ず嘘だからです。 多数派の計量結果の下一桁が「０」ならば、本当は「１」 すなわち、Ａ、Ｂのうちの１枚が本物です。 多数派の計量結果の下一桁が「１」ならば、本当は「０」 すなわち、Ａ、Ｂのうちには本物はありません。 本物は、Ｃ、Ｄのうちの１枚です。 このように、 この時点で、１枚の本物の金貨が、 Ａ、Ｂのうちの１枚なのか、 Ｃ、Ｄのうちの１枚なのか についても判明しています。 《この２枚のなかに本物が１枚ある》 と絞り込めたことになります。 この２枚を、Ｘ、Ｙとしましょう。 さて、この２枚から、本物を１枚みつけたいわけですが、 残された１台の秤を使うことになります。 既に判明しているように、 この１台が正直秤なのか嘘つき秤なのか、 我々は知っています。これを頭にいれて…… Ｙを量ります。 未使用だった１台が嘘つきで、結果が１１ｇならば 本当はＹは１０ｇです。 つまり本物の金貨はＸです。 未使用だった１台が正直秤で、結果が１１ｇならば 本当にＹは１１ｇです。 つまり本物の金貨はＹです。 未使用だった１台が嘘つきで、結果が１０ｇならば 本当はＹは１１ｇです。 つまり本物の金貨はＹです。 未使用だった１台が正直秤で、結果が１０ｇならば 本当にＹは１０ｇです。 つまり本物の金貨はＸです。 このように、４回の計量で 本物の金貨を特定できるのでした。 ３回続けて同じように量るというところが 実にトリッキーですね…… ※Ａｎｎさんによる >>1 の解のほうが ずっと正統派のような気もいたします。 ペコリ。m(__)m ―― おりをみてクローズ・ロックさせていただきます。 あんだってえ～！！
想定解と似ていますが、別解も書いておきますね。 金貨をA、B、C、Dとします。 １回目の計量を①、２回目を②、３回目を③、４回目を④、とします。 ①では、ABを量ります。 ②でも、ABを量ります。 ③でも、ABを量ります。 ④では、ACを量ります。 ⇔想定解と違います。 上記の図解です。▲が、秤に乗せる金貨です。 #:①②③④ A:▲▲▲▲ B:▲▲▲ C: ▲ D: ①から④までの計量結果の下一桁（単位ｇ）を順にならべ、 その並びごとに、正直秤と本物金貨とを列挙します。 1000 ①Ａ 1001 ①Ｂ 0110 ①Ｃ 0111 ①Ｄ 0100 ②Ａ 0101 ②Ｂ 1010 ②Ｃ 1011 ②Ｄ 0010 ③Ａ 0011 ③Ｂ 1100 ③Ｃ 1101 ③Ｄ 0001 ④Ａ 0000 ④Ｂ 1111 ④Ｃ 1110 ④Ｄ ―― 上の結論を導くために私が書いたお絵かきが以下です。（$が本物金貨です） #:真②③④ $:１０００ B:１００ C: ０ D: #:真②③④ A:１００１ $:１００ C: １ D: #:真②③④ A:０１１０ B:０１１ $: ０ D: #:真②③④ A:０１１１ B:０１１ C: １ $: #:①真③④ $:０１００ B:０１０ C: ０ D: #:①真③④ A:０１０１ $:０１０ C: １ D: #:①真③④ A:１０１０ B:１０１ $: ０ D: #:①真③④ A:１０１１ B:１０１ C: １ $: #:①②真④ $:００１０ B:００１ C: ０ D: #:①②真④ A:００１１ $:００１ C: １ D: #:①②真④ A:１１００ B:１１０ $: ０ D: #:①②真④ A:１１０１ B:１１０ C: １ $: #:①②③真 $:０００１ B:０００ C: １ D: #:①②③真 A:００００ $:０００ C: ０ D: #:①②③真 A:１１１１ B:１１１ $: １ D: #:①②③真 A:１１１０ B:１１１ C: ０ $: 以上が別解です。
遅ればせながら出題、進行管理、解答発表お疲れ様です
説明が上手で一度問題文を読めば暗記してどこにいても暇さえあれば考えられる良門でした  というわけでずっと悪戦苦闘して、毎日考えていて… 今日もう一回だけ考えてみて駄目だったらヒントや答えを見ようと諦めの境地に入ったら… 盲点になっていた残り２枚、嘘つき1正直1からのクロージングの方法がやっと分かりました  そこまで絞るのはすぐ出来ていたのですが、１枚ずつ量ることばっかり考えて破綻して行き詰ってました… 絞ってからも量る枚数を減らさないのが盲点になってしまいました。あー頭が固い！ これは間違いなく私のお気に入り問題リスト入りです  
千夜一夜
過分なる御評価を賜り、大変恐縮致しております。 今後とも、できる限り精度のよい問題文にしていきたいと存じます。 嘘つきなポンコツ秤を構成しうると気がついて珍妙な問題となってしまいました。 出題後に知人から教わったところによれば、実はこの問題にはより難解な類似品があるようです。 今回のポンコツ秤の言葉を借りますと、次のようなものです。 １６枚の金貨があり、１枚の本物は１１ｇ、残り１０枚の偽物は１０ｇです。 ７台のポンコツ電子秤があり、うち６台は嘘つきで、うち１台が正直です。（嘘つき＝グラム表示の下一桁めが例によりポンコツ） 本物を探せという。 ちなみに私は自力では解けませんでした。難解です。 この類似品を解こうとしていたときに得た経験をもとに、 別スレッドの「ドワーフの指輪」が誕生しています。 ひょうたんからこまですけれども。 |
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