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このクイズの参加者（6人）
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 お宝が欲しいわ
難易度：★★★
 ほにょこ
2022/05/23 12:50
「ご指示通り何の目印もない平原に宝を埋めてまいりました」
「どの位置に埋めたのじゃ」 「岩魚岩、鷹岩、馬岩それぞれからの距離の合計を言えば分かる地点です」 「鷹岩と馬岩の位置は分かるのじゃが、岩魚岩の位置は忘れてしまったのう」 「岩魚岩は鰈岩の真北にございます」 「それならば宝の位置が分かったぞよ」 この会話を盗み聞きしていた者がおりました。 お宝を横取りしてやろうと思いましたが、岩の位置が全く分かりませんでした。 なんとか馬岩の位置はをつきとめました。 馬岩から鷹岩まで、直線距離だと26里で、 真東、真北と進んで行くと移動距離は34里になるということも分かりました。 さて、お宝はどこに埋められているのでしょうか。 馬岩を基準に宝の位置をお答えください。 馬岩から東または西に何里、北または南に何里という形でお答え下さい。 >>33にヒントを書きました。 ◇◇◇ おまけクイズ それぞれひらがなで囁くとかってに君に何かいわれます。 こんなのぜった○○○○ない！ 私には難易度た○○○ お願い助けて！ レイアひ○○○○「あなただけが頼りです」 自分で考えろって？ うる○○○○！ あれ？ぶ○○○された？
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回答募集は終了しました。
もちがいないわ
控えい控えい！
かけないわ
辛くないわ
ゴヨンさんに一礼！
①：
26^2=24^2+10^2 なので ビタゴラスの三角形をなしています。 これだけですと、 次のどちらなのかわかりません。 ・馬から東に10里、更に北に24里に鷹が。 ・馬から東に24里、更に北に10里に鷹が。 これら２点が一致するとしたならば恐らくは北極点付近…と一瞬考えましたが東方向の大円を考慮しても一致しないと考えました。 ――― 上とは別に。 ②： 「岩魚岩、鷹岩、馬岩それぞれからの距離の合計を言えば分かる地点です」 こうしたことが言えるとしたならば、岩魚の場所は限定されるはずです。 岩魚は馬と鷹とを結んだ直線上にあるはずです。その上で岩魚の位置についてはとりあえず３ケースを思い付きます。 岩魚岩、鷹岩、馬岩それぞれからの距離の合計をＳとします。 ・ケース１＃馬と鷹との中点 ・ケース２＃馬と鷹とを結んだ線分上にはなく、この線分を鷹側に延長した半直線上のどこかである。 ・ケース３＃馬と鷹とを結んだ線分上にはなく、この線分を馬側に延長した半直線上のどこかである。 検討の結果、ケース１では「ご指示通り何の目印もない平原に宝を埋めてまいりました」に反します。何故ならお宝が岩魚岩のところに埋められていることになるからです。 ケース２とケース３のどちらであるかについては、決定できません。 いずれにせよ、そこいらの平原では、位置決定がしずらいことになります。 ――― 最後の手段としては、 「岩魚岩は鰈岩の真北にございます」 「それならば位置が分かったぞよ」の会話から、鰈岩が南極点だとしたらと考えましたが…… ここからは何も得られませんでした。 
さっぱりわかりません。 わかったことだけ２点、囁きます。 
ほにょこ
地球の丸みとかは使いません。
すべての岩は同一平面上にあるとお考えください。 ＞岩魚は馬と鷹とを結んだ直線上にあるはずです そうとは限りません。
ゴヨンさんに一礼！
ほにょこ
違いました。そんなに凝った問題ではありません。
以下、盗み聞きをしている者を盗人と言います。また、手下と親分とのあいだの会話を盗人が聞いていたとします。 手下「岩魚岩、鷹岩、馬岩それぞれからの距離の合計を言えば分かる地点です」 手下は親分が岩魚岩、鷹岩、馬岩、全ての位置を知っているものと考えて上の発言をしています。 岩魚岩、鷹岩、馬岩それぞれからの距離の合計をＳとします。 手下「Ｓを言えば分かる地点です」 この情報から、《手下にしてみれば岩魚岩の位置を知っているであろう》親分がその位置を確定できるとしたならば、それはＳが最小となる地点であろうと思います。 いわゆる「フェルマー点」です。 フェルマー点は、鷹岩、馬岩の位置が既知であっても、岩魚岩の位置を知らなければ、 位置が定まらないものと私は考えました。 ところが、問題文によれば、手下が追加した情報、すなわち、 手下「岩魚岩は鰈岩の真北にございます」 で、親分はフェルマー岩の位置を確定してしまっています。 鰈岩の位置を親分が知っていたものと考えますが、それでも、岩魚岩の位置は確定しないはず、それなのにフェルマー点が親分にわかるとはどういうことなのか…… 問題文の設定とは会いませんが、仮に、鷹岩と馬岩とを結ぶ直線が、東西方向と平行だとしたならば、なるほど、親分にはフェルマー点の位置を（鷹岩と馬岩とを結ぶ直線を挟んで南北に線対称な位置の）二ヶ所に絞り込むことはできそうですが……それでも一ヵ所には確定できません。 問題文の設定に戻り、鷹岩と馬岩とを結ぶ直線が、東西方向と平行ではないときに、親分に、フェルマー点が一ヵ所に絞り込めるというのは、なおさら難しいものと考えました。 …… 上の考えは、 【鷹岩、馬岩、岩魚岩が一直線上にはない】と仮定してのものでした。 これでうまくいかないのなら、 《鷹岩、馬岩、岩魚岩が一直線上にある》と考えなくてはいけないのかも……とも考えてはみたのですが、それでも…うまくいかなかったのは、前回の拙回答の通りです。 フェルマー点以外になにか手があるのか、しきりに考えております。
あいかわらず絶賛どんづまり中です ↓↓ コメントを頂きましての追伸です………これは良問の香りが！！？？
ほにょこ
かなり近づきました。
そのいわゆる○○がこの問題のポイントです。 それなのに○○が分かるとはどういうことなのか、 そこを突き詰めていけばよいと思います。
ほにょこ
ここではないわー
もちがいないわ
もちがいないわ
控えい控えい！
かけないわ
辛くないわ
ゴヨンさんに一礼！
もちがいないわ
控えい控えい！
かけないわ
辛くないわ
答え「馬岩から北東に進んで、赤道にぶつかる地点」
鷹岩の位置は直角三角形の三辺の長さの問題でよく出る「5：12：13」を倍にした「10：24：26」じゃないかなあ…だとすると 鷹 岩＝馬岩の北10里・東24里、または北24里・東10里ではないか？ →これがどっちか特定しなくても分かるということは、お宝はどっちだったとしても同じ距離なんじゃないか？ →と言うことはお宝は馬岩から北東ないし南西の方向にあるんじゃないか？ 「岩魚岩は鰈岩の真北にある」「それならば位置が分かった」 →岩魚岩が、まったく関係ない鰈岩の真北にあることで確定する →岩魚岩が北極点にあるか、南極点にあるか分かれば事足りる…ということではなかろうか？（完全に当てずっぽうと言うかヤマカン（苦笑）） そうなるとこうではなかろうか？ 馬 岩＝南極点 岩魚岩＝北極点 だとしたら「馬岩の北東の赤道にぶつかる地点」なんじゃないだろうか…？（自信なし）
無謀にも本題に挑戦
 …正直、当てずっぽう感満載でまったく自信なし 
ほにょこ
北極点とか赤道とかは使いません。
そんなひねくれた問題ではありません。 普通の平面図形の問題です。 多分中学数学レベルです。
今回はささやきません
《鰈岩の真北》の条件をうまく使えないからなのか 掘るべき場所が４箇所に【も】なっております……しくしくしく……((T_T)) あたしが盗聴者ならば労を惜します全箇所掘りますけれども。 追伸： 手下が親分にムニャムニャなので２箇所に減りました。 
ほにょこ
ちなみに会話をしているのはレイワ姫とオイワン・シノービです。
「岩魚岩は鰈岩の真北にございます」が手がかりになるということは、 姫は鰈岩の位置を知っていたのです！ 岩魚岩は鰈岩のすぐ北にあるかもしれないし、ずっと北にあるかもしれません。 にもかかわらず宝の位置が分かったということは？ 《１》鷹岩の位置について
馬岩から真東に２４里、そこから真北に１０里に鷹岩が位置しています。 ※ピタゴラス的には、もうひとつ鷹岩の位置がありそうですが、それだと、お宝の位置が求められないのですね…… 《２》お宝の位置について。 馬岩から２時の方向に直線を伸ばし、鷹岩から１０時の方向に直線を伸ばし、２つの直線の交点にお宝があります。
地球のお話しではなかったのでしたかっ！！？？ ヒントをありがとうございました。 ――― ふと追伸 「姫は鰈岩の位置を知っていたのです！」とヒントを頂きましたが、レイワ姫が鰈岩について何も知らないと仮定しても、オイワン・シノービが「岩魚岩は鰈岩の真北にございます」と言うことで、レイワ姫が、お宝の眠る場所を知り得るはず、なぜなら、盗聴者がお宝の眠る場所を知り得るだけの情報をレイワ姫も知っているからです……… 囁きの内容が合っているのかすごく不安になってきました。 
ほにょこ
これだと作図方法は分かりますけど位置と言えるかどうか
馬岩から東または西に何里、北または南に何里という形でお答え下さい。 追伸について。 「岩魚岩は鰈岩の真北にございます」だけでは、 宝の位置を特定するのに十分な情報だとは言い切れません。 姫が鰈岩の位置を知らなかった場合、 あの発言を聞いた人が宝の場所を特定できたという情報が得られません。
控えい控えい！
もちがいないわ
ほにょこ
はい正解です
 私はWolfram Alphaで検算してます。
もちがいないわ
かけないわ
控えい控えい！
この一文がとても重要で、さもないと、宝が埋められている可能性がある地点が無数に存在することになっているのですね。
馬岩、鷹岩、岩魚岩を頂点とする三角形をつくったときに、∠馬岩鷹が１２０度を越えてしまうと、 「岩魚岩、鷹岩、馬岩それぞれからの距離の合計が最小となる地点」が、岩魚岩になってしまいます。 しかも、岩魚岩の位置は、「岩魚岩は鰈岩の真北にございます」なので、問題文からは一ヶ所に限定できません。 ゆえに、宝が埋められている可能性がある地点が無数に存在する事態を招きます。 かかる状況を排除するために、 「ご指示通り何の目印もない平原に宝を埋めてまいりました」 と何気なく示しておくことで、 【岩のある場所には埋められていない】 ことを示してあると…… なんと巧妙な！！ これにて∠馬岩鷹が１２０度未満とわかり、「岩魚岩、鷹岩、馬岩それぞれからの距離の合計が最小となる地点」すなわちフェルマー点を探すように誘導してある問題なのですね。 ――
「ご指示通り何の目印もない平原に宝を埋めてまいりました」 最初私は、この一文の重要さに気がついていませんでした。 よく練られた素敵な問題だと思います。
ほにょこ
ヒントになるので詳しくは書きませんが、
そんな事態は招きません。 前回、拙回答として、お宝の座標を計算いたしました。
その地点をαとします。 馬岩と鷹岩とを結んだ線分の中点をＭとします。 Ｍを中心とした、αの、回転対象となる地点をβとします。 すなわち、αとβを結んだ線分の中点が、Ｍです。 βもまた、お宝の位置の候補と考えています。 レイワ姫が鰈岩の位置について既知であるとシノービが確信している場合に 「岩魚岩は鰈岩の真北にございます」 が、盗み聞きをした人物にとって、βの可能性を排除しきれるほどの情報とは思いません。 レイワ姫が鰈岩の位置について既知であるとシノービが確信できない場合には、 「岩魚岩は鰈岩の真北にございます」 を聞いたレイワ姫にとってβを排除でき、 盗人さんにも、βを排除できるのだ…… と思っています。 実に悩ましいです。
！？
そうなのでしたか！！ それは大変に失礼いたしました。 ………… 謎い ………… ――― No31 の拙囁きには どのような問題があったのか理解できず 混乱しておりますが…… いずれ明らかになることを楽しみにしております。 ―――― もうひとつ世迷い事を【囁きに】書いておきたく存じます。
ほにょこ
回転対称？
そちらの場合、岩魚岩の位置を北へ北へと動かしていくと宝の位置が変化しますので、 姫が宝の位置を特定することができません。 会話をしているのはレイワ姫とオイワン・シノービです。盗み聞きをしているのを、イブとします。
馬岩をＡ、鷹岩をＢ、岩魚岩をＣとします。 レイワ姫はＡ、Ｂの位置を知っていますが、イブは、Ａのみ確定した位置を知っており、Ｂについては、候補の位置を二ヶ所にまで絞り込めています。 レイワ姫、およびにイブは、ともに、Ｃの位置を知りません。 この状況下で、 「岩魚岩、鷹岩、馬岩それぞれからの距離の合計を言えば分かる地点です」と、シノービが語ったときに、レイワ姫が、宝のありかについて知り得る全情報について考察します。 ＡＢを一辺とする正三角形を作図します。正三角形は二通りに作れます。片方をＡＢＸ、もう片方をＡＢｘとします。 次に正三角形ＡＢＸの外心Ｏを求めます。すると角ＡＯＢ（優弧）（ゆうこ。長い方ということ）は２４０度です。点Ｐが弧ＡＢ（劣弧）（れっこ。短い方ということ）上にある限り角ＡＰＢは１２０度になります。円周角ＡＰＢは中心角の半分になるからです。 全く同様に正三角形ＡＢｃの外心ｏを求めます。すると角ＡｏＢ（優弧）は２４０度です。点ｐが弧ＡＢ（劣弧）上にある限り角ＡｐＢは１２０度になります。 位置こそ確定していませんがふたつの弧の上のどこかにあるＰまたはｐにお宝が埋まっていると、レイワ姫には推理可能です。 なお、イブにとっては、Ｂの位置の候補が二ヶ所ありますので、そこだけ留意して推論すればよいこととなります。 以上は、「岩魚岩は鰈岩の……」の情報を知る前の、レイワ姫とイブとのお話しです。 もしも上の推論に間違いがあれば、私が正解をいただいたのは偶然ということとなり、たいへんお恥ずかしい次第と反省しております……
その後、毎日悩んでいます。 どのくらい私の認識が想定解からズレているのか全くもって混迷を深めてしまっています。 今回の《囁き》のなかに、ほにょこさんと私とのあいだで必ずや認識が一致するであろうと予想している部分を書いてみます。 不一致点があるようでしたならば、 詳細は伏せて【認識に不一致点がある】とだけご教示をいただければ幸いです。
ほにょこ
不一致はありますね。
盗み聞きをしていた人物の名前が違います(そこかい！) 彼の名はダーク・スカイワーカー。 暗黒面に堕ちてしまったのです。 円が出てこないのに弧と言われても困るんですが、 外接円の弧と解釈しました。 岩魚岩は鰈岩の真北にあると聞く前に姫が推理すると、 宝の位置の候補はそうなると思います。 盗み聞きをしていた人はこの時点では岩の位置が何一つ分かりませんので、 宝の位置を絞り込むことは全くできません。
全然分からないという人のためにヒントです。
馬岩をA、鷹岩をB、岩魚岩をC、宝の位置をPとします。 三角形ABCに対してAP+BP+CPが最小となる点Pについて考えてみます。 もちろん数学的に考えても分かりますが、物理学的に考えてみましょう。 テーブルとかの天板に三角形ABCを書いて、各頂点にドリルで穴をあけます。 石などに3本の糸を接着して、それぞれの端をA,B,Cの穴に垂らします。 3本の糸の端に同じ重さの錘をくっつけて放すと、 石が3本の糸に引っ張られることになります。 この石を点Pとみなします。 石が止まる場所がAP+BP+CPが最小となる点です。 なぜかというと。 3つの錘は位置エネルギーの合計が最小になるように動きます。 位置エネルギーの合計は地面からの高さの合計で決まりますので、 高さの合計が最小になります。 それはテーブル下の糸の長さの合計が最大になるということ。 それはテーブル上に残っている糸の長さの合計が最小になるということです。 つまり、AP+BP+CPが最小となります。 石はA,B,Cの方向に引っ張られますので、 石が三角形ABCの外部にある場合は三角形の方に引き寄せられます。 石が止まるのは三角形ABCの内部です。 A,B,C以外の点で止まる場合は、3方向に引っ張られる力が釣り合う地点。 A,B,Cのいずれかで止まる場合は力が釣り合うとは限りません。 力が釣り合う場合、どのような条件を満たすのかは簡単に分かりますね。 そのような点が一個しかないこともすぐに分かります。 つまり、三角形ABCに対してAP+BP+CPが最小となる点Pはただ一つ。 その点を始点とする半直線を考え、Pをその線に沿って移動させていくと、 AP+BP+CPは連続的に変化し、どんな大きな値にすることもできます。 AP+BP+CPは最小値以上の任意の値を取り得るのです。 半直線の引き方は無限にありますので、 AP+BP+CPが最小値以外の値をとる場合、Pの位置も無限の可能性があることになります。 A,B,Cの位置が分かっているときにAP+BP+CPの大きさを聞いてPの位置が特定できるのは、 最小値をとるときのみです。
ほにょこ
どこでも・いつでも・よろこびます
ほにょこ
Say Yo !
これは仲間ではないわー
かけないわ
私が想像した、ダーク・スカイワーカーの推理です。
t ＜ u ＜ 5-4√(3) ＜ 0 ...① なる、 t およびに u を以下に使います。 馬岩を原点とします。 鷹岩の座標を以下で与えます。 (24, 10) 鰈岩の座標を以下とします。 (12-5√3, t) 岩魚岩のの座標を以下とします。 (12-5√3, u) なお、①により 「岩魚岩は鰈岩の真北にございます」 を満たしています。 ①を満たしつつ t ないし u の値を変化させたとしても、 馬岩、鷹岩、岩魚岩の三角形のフェルマー点が一点に定まり、その座標は、 (12-5√3, 5-4√3) となります。 すなわち、お宝の場所は、 「馬岩から東に(12-5√3)里、南に(4√3-5)里」 とも考えられます。 しかしながら既に正解を頂いています通り、 ダーク・スカイワーカーは「馬岩から東に(12+5√3)里、北に(5+4√3)里」に絞り込めたはず、 「馬岩から東に(12-5√3)里、南に(4√3-5)里」を彼が棄却できた理由は何だったのだろうと、 本当にわからないでいます…… ――― 他の回答者さまへのヒントになるわけにはまいりませんので、 ひとことだけ、 この 「馬岩から東に(12-5√3)里、南に(4√3-5)里」 は【解には含まれない】とだけ、 コメントを頂戴できれば幸いです。
正解マークを先日頂きましたけれども、ダーク・スカイワーカーがこのように考えるかもしれないと……先日来、大混乱中です…… 私的な大混乱を囁いてあります。 この考えがダメな理由はいったい何だろうと、あれこれ悩みまして、こればかりにかかりきり、（ネタはあるのに新規の出題もできずにいます。） もう考えるのはやめにいたしまして、 ほにょこさんによる正解発表を待とうと決意いたしました。 申し訳ありませんが、この囁きがダメとだけ、お答え頂ければと存じます。ダメな理由については正解発表までお待ちすることを約束いたします。 以上です。なにとぞ宜しくお願い申し上げます。 ―― 追伸： ひとつ、私からの投稿を削除いたしました。 申し訳ありません。 ＝＝＝＝ ↓↓↓ ほにょこさん、有り難うございました。 ご説明を伺ったいまでも、わたしには、この地点もまた、フェルマー点であると考えられてならないため、 たぶん、一生わかりません……とほほ…… ぽんこつな私に お付き合いいただきまして有り難うございました。 なんども投稿をしてしまったことをお許しください。 それでは…… 再度追記します。これで本当に最後。スッキリしましたので。 夕食の準備中に悟りました。 「岩魚岩は鰈岩の真北にございます」 「それならば宝の位置が分かったぞよ」 の読解におきまして、私は【∃北】を使っていましたが、出題の意図としては【∀北】だったのですね……おみそれいたしました。 今度こそわかりました！！！ 失礼いたしました。
ほにょこ
これについては>>22でも>>31でも書いたつもりなのですが。
uに上限をつけているところが間違いです。 u=100でも65536でも2.99792458*10^8でもなんでもいいんです。 このとき宝の位置はすべて異なりますよね？ 姫が「岩魚岩は鰈岩の真北にございます」という発言を聞いて 宝の位置の候補を考えたときに無限の可能性が出てきてしまいます。 姫が宝の位置を特定することができませんので棄却されます。
辛くないわ
答えを発表します。
まずはおまけクイズから。 タイトルにありますように☆岩です。 答えは、 いわかん かいわ めいわく さいわい ろっく でした。 本編の答えです。 馬岩をA、鷹岩をB、岩魚岩をC、鰈岩をK、宝の場所をPとします。 PはA,B,C,Kとは異なる場所です。 何の目印もない平原に埋めたということは、岩のある場所ではないということです。 PはAP+BP+CPが最小となる点です。 三角形ABCに対して、AP+BP+CPが最小となる点Pを、 三角形ABCのフェルマー点といいます。 フェルマー点は一意に決まります。 PがA,B,Cとは異なる点であることから、 A,B,Cは三角形をなし、三角形ABCはどの角も120度未満であることが分かります。 このとき角APB=角BPC=角CPA=120度です。 (詳しくはフェルマー点で検索してください) Aを原点として、Y軸正の方向を北、X軸正の方向を東とする座標を考えます。 Bの座標を(a,b)とすると、 a^2+b^2=26^2 a+b=34 これを解くと、(a,b)=(10,24),(24,10) Bの座標は(10,24)または(24,10)です。 姫は岩魚岩が鰈岩の真北にあると聞いて、宝の場所を特定できました。 宝の位置の候補が複数になる場合は特定できませんので、 宝の位置の候補は一つしかなかったということです。 あるA,B,C,P,Kが次の条件を満たしているとします。 ・CはKの真北にある ・A,B,Cは三角形をなし、三角形ABCのどの角も120度未満 ・Pは三角形ABCのフェルマー点 Cを更に北に移動すると、三角形ABCの3つの角の大きさはそれぞれ連続的に変化します。 ちょっとだけ北に動かして、三角形ABCのどの角も120度未満とすることができます。 この三角形のフェルマー点も宝の位置の候補ですので、Pと一致するはずです。 つまり、次の条件を満たす点C'が存在します。 ・C'はCの真北にある(Kの真北でもある) ・A,B,C'は三角形をなし、三角形ABC'のどの角も120度未満 ・Pは三角形ABC'のフェルマー点 このとき、角CPA=角C'PA=120度ですので、 C',C,Pは同一直線上にあることが分かります。 直線CPはY軸に平行です。 角APBの二等分線がY軸に平行となります。 直線APとY軸のなす角が60度で、APとX軸のなす角は30度。 直線BPとX軸のなす角も30度。 直線AP、直線BPの傾きは1/√3または-1/√3です。 Bの座標は(10,24)または(24,10)でした。 B(10,24)の場合 Pの候補は2点ありますが、どちらの場合も 角APBの二等分線はX軸に平行となり、Y軸に平行にはなりませんので不適。 B(24,10)の場合 Pの候補は(12-5√3,5-4√3)と(12+5√3,5+4√3)の2点。 (12-5√3,5-4√3)は不適です。 Pがこの位置になるのは、CがABよりも下にあるときだけです。 CがABより上にあり、三角形ABCがどの角も120度未満になるときは、 Pの位置が変わってしまいます。 CのY座標が十分に大きければ角ACBは120度未満にできます。 CのX座標はAより大きくBより小さいですので、角CABも角CBAも90度未満。 Kがどの位置にあってもPの候補が一通りには決まりませんので、 姫は宝の位置を特定することはできず、不適と分かります。 よってPの候補は(12+5√3,5+4√3)だけです。 この場合もCがABより下にあるとそれ以外の場所にもフェルマー点ができてしまい、 宝の場所が特定できなくなる場合がありますが、 Kがある点より北にあればそんなことは起こりません。 ちなみに、その点をQとすると、QのX座標は12+5√3で角AQB=120度、 ABより下にある点です。 計算してみると、Q(12+5√3,5+12√3-2√94)のようです。 姫が宝の場所を特定できるのは、KがQの真北にあるときのみ(K=Qも含む)。 そのときPの座標は(12+5√3,5+4√3)です。 従って答えは、 宝は馬岩から東に12+5√3里、北に5+4√3里のところに埋められている。 となります。 |
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