『公式』と言うからには、文字を使って良いわけですよね？
特定の人数に関してだけでなく、一般のｎ人に対して、という感じで立式するような。

各人数に対して、余事象から算出する方が簡単なような気もするんですが……頑張ってみます

グー、チョキ、パーのうち２種類しか出されない場合はあいこになりません。
それ以外があいこになる確率だと考えました。

ｎ人が３種類の中から２種類だけを選び出す確率は３人の場合だと

（３Ｃ１×３Ｐ２）／３＾３＝２／３

これを１から引くと１／３となります。
４人の場合だと

（４Ｃ１×３Ｐ２＋４Ｃ２×３Ｃ２）／３＾４＝１４／２７

１から引くと１３／２７

ここで４人の時の式を

（４Ｃ１＋４Ｃ２＋４Ｃ３）×３／３＾４

とすると全てのｎに対してこの公式が成り立つと思われます。

よって

　１−（ｎＣ１＋ｎＣ２＋…＋ｎＣｎ−１）／３＾ｎ−１

これがあいこになる公式かと思います・・・

自信は無いです。あと見にくくてすみません。

1-(2^n -2)/3^(n-1)

１−｛２＾ｎ/３＾（ｎ−１）｝？？

aさんと答えは一緒なんですけど考え方を……。
あいこになるには
�@みんな同じものを出す。
�A三種類すべて出る。
があります。

�@明らかに３通り。

�Aすべての場合の数は３＾ｎ通り。
二種類以下が出るのは、
３Ｃ２*２＾ｎ−３通り
（※３を引いてるのは、一種類しか出てない時のを重複して数えてるから。）

よって、３＾ｎ−｛３Ｃ２*２＾ｎ−３｝通り。


�@�Aより、あいこになるのは、
３＾ｎ−３Ｃ２*２＾ｎ＋６通り。

すべての場合の数、つまり、３＾ｎで割ればaさんと同じになります。



ちなみにヨボヨボさんの式も、正解で、二項定理、
２＾ｎ
＝ｎＣ０+ｎＣ１＋ｎＣ２＋…＋ｎＣｎ−１+ｎＣｎ
＝２+ｎＣ１＋ｎＣ２＋…＋ｎＣｎ−１
を用いれば同じ結果が得られます。

aさんと同じですがYAMAさんより簡単に証明できます。
YAMAさんはあいこになる場合を２通り考えていますが、その余事象である勝敗が決まる場合を考えれば
�@２種類の手が出る
だけで済みます。

�@の場合の数は

３C２（２^ｎ−２）＝３（２^ｎ−２）

（３C２…グーチョキパーのどの２つか
　２^ｎ…ｎ人が２種類のどちらかを自由に出す
　−２…全員同じ手を出すときを除く）

よって確率はaさんの答えのようになります。