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 シン：６人のコレクター
難易度：★★★★
 千夜一夜
2022/03/02 23:02
６人のコレクターがいました。名をアリス、ボブ、キャス、ディック、エルザ、フローといいました。 コレクターの６人とも、スーパー戦隊タイムダイバーの熱烈なファンでありました。 このスーパー戦隊は６人組なのですが、おりしも６人のコレクターたちはそれぞれ特定の１名のタイムダイバーの熱烈なファンでありました。いわゆる、オシです。 アリスはレッドダイバーの、ボブはオレンジダイバーの、キャスはイエローダイバーの、ディックはグリーンダイバーの、エルザはブルーダイバーの、フローはパープルダイバーの熱烈なファンだったのです。 また、彼らはスーパー戦隊６人組のプレミアフィギュアをもれなく一体づつ持っていました。 彼らはＳＮＳで知り合って会話を続けるうちに意気投合しました。 そして、それぞれのオシのダイバーのフィギュアのみを６体、自分のもとに入手し、オシではないダイバーのフィギュアについては他の５人に譲ることとしました。（いわゆる物々交換なのです。） そうとなれば一刻も早く、一同に会してフィギュア交換会を開こうと意見が一致したのでしたがコレクターたちは皆さん意外と多忙で時間が合いません。そもそも彼らたちは互いに遠隔地に住んでおりましたし… どうしたらよいのかと相談を重ねた結果、次のようにすれば、望んだ結果が得られることがわかりました。 ・コレクターたちは、１対１でなら会ってフィギュアを持ち寄って交換会を実現できる。ただし、スケジュールをどう検討しても、各コレクターにとってその交換会は１日あたり１回が限界である。 ・同一の組み合わせの２人での再度の１対１の交換会は行わない。 ・３日の間に、１対１の交換会をのべ８回開催することをがんばれば、望みの結果を得られる。 ◆問題◆ コレクターたちの計画は具体的にはどのようなものなのでしょうか。一例をあげてください。 ―― 註釈：問題、「６人のコレクター」では、３日の間の、のべ９回の、１対１の交換会が許されていました。 「続：６人のコレクター」では、のべ８回しか許されていません。 「シン：６人のコレクター」では、３日の間の、のべ８回の、１対１の交換会が許されています。
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回答募集は終了しました。
千夜一夜
残念っ (／。＼) 一度は正解判定をしておりましたけれども、 かえるの妻さん、大変に申し訳ありません。 出題者、判定ミスをいたしておりました。 １日目と３日めとで、同じ顔会わせで交換会が開かれておりました…… （想定解と実によく似ていたための誤認でした。まことに申し訳ありません。） 6人のコレクターをA,B,C,D,E,Fとし、
それぞれが欲しいフィギュアをa,b,c,d,e,fと書くことにします。 A,B,C,D,E,Fを平面上の点と考え、次のように2点を結ぶ線を8個書き、 1,2,3の番号をつけます。 Ａ≡Ｂ─┐ │ ┃ │ Ｃ≡Ｄ │ ┃ │ │ ┗━Ｅ≡Ｆ ─:1 ━:2 ≡:3 これを1日目、2日目、3日目に開催する交換会と同一視します。 つまり、 1日目にはAC、BF、DE間で交換を行い、 2日目にはBD、CE間で交換を行い、 3日目にはAB、CD、EF間で交換を行います。 例えばFが持っているcをCに渡すためには、 FからCへの経路が存在し、経路の番号が昇順になっていることが必要十分です。 F-->B-->D-->Cという経路が条件を満たします。 すべての2点の組み合わせ(順序も区別する)について昇順経路が存在すれば、 全員の希望を叶えることができます。 Aについては A>B、A>C>D、A>C>E>F の経路ですべて網羅できますので、 AはbをBに渡し、c,d,e,fをCに渡せばよいです。 渡す数は1個とは限らず、その時に持っている同じ種類のものをすべて渡します。 Bについては、B>A、B>D>C、B>F>Eなので、 BはaをAに渡し、c,dをDに渡し、e,fをFに渡せばよいです。 Cについては、C>A>B、C>D、C>E>Fなので、 Cはa,bをAに渡し、dをDに渡し、e,fをEに渡せばよいです。 Dについては、D>B>A、D>E>C、D>E>Fなので、 Dはa,bをBに渡し、c,e,fをEに渡せばよいです。 Eについては、E>D>B>A、E>D>C、E>Fなので、 Eはa,b,c,dをDに渡し、fをFに渡せばよいです。 Fについては、F>E、F>B>A、F>B>D>Cなので、 FはeをEに渡し、a,b,c,dをBに渡せばよいです。 
前回は答えを書くのがとても面倒でしたので、
書き方を変えてみました。 
千夜一夜
正解！ 想定解と同じです。（ただし、人間はいれかわりますけれども本質に差はありません。） …… 他にやり方があるのかどうか私は知りたいです…… 実は、表には出していませんでしたけれども、私も考える際には、ほにょこさんと同様のポンチ絵を書いておりました。  当初
A赤橙黄緑青紫 B赤橙黄緑青紫 C赤橙黄緑青紫 D赤橙黄緑青紫 E赤橙黄緑青紫 F赤橙黄緑青紫 １日目 A赤赤緑緑 B橙橙黄黄青青紫紫 C橙橙黄黄紫紫 D赤赤緑緑青青 E赤赤橙橙緑緑青青 F黄黄紫紫 ２日目 B橙橙橙橙青青 C黄黄黄黄紫紫紫紫 D赤赤赤赤緑緑緑緑 E橙橙青青青青 ３日目 A赤赤赤赤赤赤 D緑緑緑緑緑緑 B橙橙橙橙橙橙 E青青青青青青 C黄黄黄黄黄黄 F紫紫紫紫紫紫
♪ちゃんちゃかちゃんちゃんちゃちゃんちゃちゃんちゃん
鬼殺ーの剣士が来たー と思っていたらーギターー侍でーしーたー♪ チックショウ！！ 
千夜一夜
正解！ たったいま、呼吸が元に戻りました。 エンタの神様でブレイクしたコウメ太夫が同じ舞台でブレイクしたギター侍をダシにしている映像が浮かんでしまいまして、しばらく笑いころげました。 (>o<) 落ち着け……私…… 深呼吸だっ …… ちょっと長いです．
わかりにくかったらごめんなさい． 1日目に交換しない人がいると，その人のフィギュアが届かない人が出ます． 3日目に交換しない人がいると，その人に届かないフィギュアが出ます． したがって，1日目に3回，2日目に2回，3日目に3回の交換会が行われることになります． 「あ，い，…，か」にうまく人を当てはめることで，1日目と3日目の交換は次のようになっているということにできます． 1日目：あ⇔い，う⇔え，お⇔か 3日目：か⇔あ，い⇔う，え⇔お 一つの答えに対して，1日目と3日目を入れ替えて逆向きに追うことも答えになることを考えると，2日目の交換の可能性は，人のあてはめ方をうまくすることで， i. 2日目：あ⇔う，い⇔え ii. 2日目：あ⇔う，い⇔お iii. 2日目：あ⇔う，え⇔か iv. 2日目：あ⇔え，い⇔お または，その1日目と3日目を入れ替えたものになります． このうち，i.の場合は「お，か」の持つフィギュアが「い，う」にわたらない，iii.の場合は「い」の持つフィギュアが「お」にわたらないので，だめです． そこで，答えは大きく2つに分かれます． 1つ目は 1-1 1日目：あ⇔い，う⇔え，お⇔か 2日目：あ⇔う，い⇔お 3日目：か⇔あ，い⇔う，え⇔お とその逆の 1-2 1日目：か⇔あ，い⇔う，え⇔お 2日目：あ⇔う，い⇔お 3日目：あ⇔い，う⇔え，お⇔か 2つ目は 2 1日目：あ⇔い，う⇔え，お⇔か 2日目：あ⇔え，い⇔お 3日目：か⇔あ，い⇔う，え⇔お 2は対称性のようなものがあるので，うまく人を入れ替えると，逆バージョンも同じパターンになります． 具体例として，「あ，い，…，か」のオシがそれぞれ「ア，イ，…，カ」だとしますと， 1-1の例 交換会１日目（あ⇔い，う⇔え，お⇔か）の後 あアアイイカカ いウウエエオオ うアアイイウウカカ えエエオオ おイイウウエエオオ かアアカカ 交換会2日目（あ⇔う，い⇔お）の後 あアアアアカカカカ いイイウウウウ うイイイイウウ えエエオオ おエエエエオオオオ かアアカカ 1-2の例としては1-1を逆にたどっていくものがあります． 2の例 交換会１日目（あ⇔い，う⇔え，お⇔か）の後 あアアオオカカ いイイウウエエ うイイウウ えアアエエオオカカ おイイウウエエオオ かアアカカ 交換会2日目（あ⇔え，い⇔お）の後 あアアアアカカカカ いイイイイウウウウ うイイウウ えエエオオオオ おエエエエオオ かアアカカ さらに，例えば，1-1の例で，「い」が持っていた「イ」が「い→あ→う→い」と動いていますが，「い」が持ったままでも構いませんし，2の例で，「あ」が持っていた「エ」が「あ→い→お→え」と動いていますが，「あ→あ→え→え」と動くこともできる，というようにフィギュアの動きが変わるマイナーチェンジがあります． ここまで上げたすべてのパターンにおいて，「あ～か」に人をあてはめることで条件を満たすと思います．
フン♪ フフ～ン♪
6つの力を～ 1つに合わせて～ 叫べ勝利のおたけびを～ ス～パ～せ～ん～た～い～ タイムダイバ～♪ 
千夜一夜
3/5 23:00 ころ。 既に３時間ほど検討させて頂いております。 これ、全解析ではないですか、それも密度の高い… １ステップづつ穴があるのかないのかについて調べています… でも、脳が発熱していますのでいったん休憩いたします。 判定はもう少しお待ちください。 さきほど、一日めの交換会が２件しか開かれない解がつくれるかどうか、あいまいでもやっとした発想を得ましたので、明日はこれを潰しに行きます。自分で自分を倒すこの感じ、嫌いじゃないです。 ―― 23:30 ころ追伸 お待ち頂くあいだの茶菓子でもと。 教えてもらって、今朝知ったのですが。自然数 n について次の恒等式が成り立つのだそうです。 34-(3+n-3*floor(n/3))*floor(34/(3+n-3*floor(n/3))) = 2^n-7*floor(2^n/7) ここで floor は床関数、ガウス記号で書いてしまうアレです。「^」は巾、「*」は積です。 上の恒等式は、 高次な 2^n を 7 で割ったときの余りを、床関数による簡単な評価で求めてしまうものになっています。 圧倒的に計算量がはぶけています。 なんか凄くないですか？ ―― 3/7 17:00 頃 感服大正解！！！ 全容解明をなさってしまっておいでです。 目からウロコ、感服です。参りました。 ―― > フン♪ フフ～ン♪ > 6つの力を～ 1つに合わせて～ > 叫べ勝利のおたけびを～ > ス～パ～せ～ん～た～い～ タイムダイバ～♪ ⇒ 主題歌をまことに有り難うございます。  昨夜は解の見事さに痺れてしまいまして、作詞作曲のお礼を申し上げる余裕がございませんでした。失礼いたしました。
なかなか素敵なお茶菓子で
それでは， floor((n-1)/3)-3*floor(n/3)+2*floor((n+4)/3) = 2^n-7*floor(2^n/7) など,いかがでしょうか  （追加） 計算量重視ですと， floor(5*(n/3-floor(n/3)))+1 = 2^n-7*floor(2^n/7) なども
千夜一夜
＞ floor((n-1)/3)-3*floor(n/3)+2*floor((n+4)/3) 自然数からなる周期的な数列について、その一般項を構成できる強力な方法をご教示頂きました。有り難うございます。 こちらの仕掛けはよくわかったのですけれど ＞ floor(5*(n/3-floor(n/3)))+1 の方は、どうやって綺麗にまとめたのでしょう？ 一般的に使える手法がございますか？ 周期が A のときに、 (A+1)/2 程度の floor の登場で済ませる方法がありはしないかと探してみて断念したところです。 それにしても、お茶菓子を提供させて頂いたら、もっと華麗なお菓子にしてしまう…魔法使いさんなんですね。
おいしい茶菓子のおまじない♪
おいしゅうなれ，おいしゅうなれ ＞ floor(5*(n/3-floor(n/3)))+1 の方ですが，試行錯誤で，一般的に使える手法ではなかったです． floorの登場する回数ですが，縛りが少なければ，例えば， 1/2*(n-3*floor(n/3)+1/2)^2+7/8 があったり，もっと， 34 mod (n mod 3 + 3)（…ずるい！） なんていう表し方もあったりしますので，いろいろ縛りを決めて考えるのも面白いかもしれませんね  答えのご検討，大変だったかと  ありがとうございました．
千夜一夜
おおっ 朝ドラ カムカムのおまじない(^ω^) おいしうなあれ！ なるほど、細部にわたるチューニングはケースバイケースで作り上げるのでしたか。 いろいろあるのですねえ……たいしたものです。 ご教示を有り難うございました。
ひとつの解です。 他にも別解があります。 もっと凄いのが a2wz0ahz さんによる全解析ですが…… とりま、私のアイデアを書いておきます。 １日 CE AD BF ２日 ･･ BE CD ３日 BD CF AE 上のような日程にて交換会を開きます。《続・６人のコレクター》で説明した【ダイヤモンド】を含みませんので４日間を必要としません。 最初に誰がどのようなフィギュアを持っていたにせよ、欲しい人のもとにきちんと渡ることを下記に示します。 凡例 ①のもとにあるフィギュアを②に渡すものとして ①→②:使う交換会 A→D:AD A→E:AE A→F:AD,CD,DF B→D:BD B→E:BE B→F:BF C→D:CD C→E:CE C→F:CF D→A:AD D→B:BD D→C:CD E→A:AE E→B:BE E→C:CE F→A:BF,BE,AE F→B:BF F→C:CF A→B:AD,BD B→C:BF,CF C→A:CE,AE B→A:BE,AE C→B:CE,BE A→C:AD,CD D→E:AD,AE E→F:CE,CF F→D:BF,BD E→D:CE,CD F→E:BF,BE D→F:CD,CF ―― 上記の想定解は以下で示す発想から生み出されました。 ■１：魔方陣 618 753 294 ■２：魔方陣から１でも引いておきますか 5 0 7 6 4 2 1 8 3 ■３ ２つに分離します。（結構有名なテクニックです） 2 0 1 0 1 2 1 2 0 3 0 6 6 3 0 0 6 3 分離？ 上のふたつを足すと 5 0 7 6 4 2 1 8 3 なのです。 ■４ ６人のコレクター（ＡＢＣａｂｃ）が三日間、効率よく出会う図式を作ります。 2 0 1 c a b 0 1 2 a b c 1 2 0 b c a 3 0 6 B A C 6 3 0 C B A 0 6 3 A C B ※たとえば、Ｂは、c b a の順に交換会で会うわけです。 ■５ あら不思議。 ２日めの交換会３件のうち１件を取り潰してめ、うまくいくらしい…… ―― 以上がこの問題の出自でございました。 |
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