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とある詰め物パズル
難易度:★★★★  
?千夜一夜 2022/02/03 00:29
 
出題に先だって 
用語の説明をします。
 
●L型トリオミノ
□□□□□
□□■□□
□□■■□
□□□□□
 
3個の正方形を隣り合わせにつなげたもので、上記の図の ■ の部分で示したようなつながりに相当します。
 
●S型テトロミノ
□□□□□
□□■■□
□■■□□
□□□□□

4個の正方形を隣り合わせにつなげたもので、上記の図の ■ の部分で示したようなつながりに相当します。
 
今回の出題では、上記の ■ の正方形の一辺の長さを1センチとします。
 

問1:
1辺が6センチの正方形を、8個のL型トリオミノ
と、3個のS型テトロミノとで埋めてみえなくなるようにしてください。

※トリオミノ、テトロミノともに回転や裏返しを許すものとします。


問2:
1辺が8センチの正方形を、8個のL型トリオミノ
と、10個のS型テトロミノとで埋めてみえなくなるようにしてください。

※トリオミノ、テトロミノともに回転や裏返しを許すものとします。


問3:
1辺が10センチの正方形を、12個のL型トリオミノ
と、16個のS型テトロミノとで埋めてみえなくなるようにしてください。

※トリオミノ、テトロミノともに回転や裏返しを許すものとします。


問4:
1辺が12センチの正方形を、12個のL型トリオミノ
と、27個のS型テトロミノとで埋めてみえなくなるようにしてください。

※トリオミノ、テトロミノともに回転や裏返しを許すものとします。


おまけの問5
一辺が2022センチの正方形を、2024個のL型トリオミノと1020603個のS型テトロミノとで埋めつくすことが可能であることを示してください。
 
※トリオミノ、テトロミノともに回転や裏返しを許すものとします。
 
 
 
問1から問4は平凡な詰め物パズルです。

おまけの問5は超難解です。まさか詰めたあとの図解をそのまま投稿できませんし。
 

問1から問4まで、気楽にチャレンジしてみてください。
 
Answer 
問い1
 
英字や数字はテトロミノ、それ以外はトリオミノとします。
 
6×6を下記のように埋めます。
 
▼▼▽▽▼▼
▼●●▽●▼
A●B●●C
AABBCC
▲A△BC▲
▲▲△△▲▲
 
 
《オマケな話1》
 
※実は、上辺にある3つのトリオミノは全て、下にしめすような形に変更できます。
 
▲▲

 
↓↓
 
▲▲
▲英
英英
英 
 
上辺のトリオミノ全てに同じ変形をほどこしますと、全体として 縦8×横6 の長方形となります。その変形の際に、トリオミノの使用個数は8のままで増加しません。テトロミノは増えますが。
 
同じ変形操作を繰り返すことにより、縦が偶数(8以上)、横が6の長方形は、必ず、8個のトリオミノと、その他多数のテトロミノとで埋め尽くすことができることがわかります。
 
 
問い2
 
8×8を下記のように埋めます。
 
▼▼▼▼▼▼▼▼
▼0▼35▼7▼
00335577
01346587
11446688
124▼▼698
22△▲▼△99
2△△▲▲△△9
 
 
《オマケな話2》
縦が偶数(10以上)、横が8の長方形は、必ず、8個のトリオミノと、その他多数のテトロミノとで埋め尽くすことができます。「オマケな話1」と同様です。
 
 
問い3
 
10×10を下記のように埋めます。
 
▽▽▼▼▽▽▼▼▽▽
▽0▼36▽▼AD▽
003366AADD
0●3776ABED
1●●477BBEE
114488B●●E
2145988C●F
225599CCFF
△25▲△9C▲F△
△△▲▲△△▲▲△△
 
 
《オマケな話3》
縦が偶数(12以上)、横が10の長方形は、必ず、12個のトリオミノと、その他多数のテトロミノとで埋め尽くすことができます。
 
 
問い4
 
12×12を下記のように埋めます。
 
▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼
▼0▼5▼AE▼I▼M▼
0055AAEEIIMM
0156ABFEJINM
1166BBFFJJNN
1267BCGFKJON
2277CCGGKKOO
2378C▼▼GLKPO
33889D▼HLLPP
34899DDHHLQP
44▲9△▲D△H▲QQ
4▲▲△△▲▲△△▲▲Q
 
 
《オマケな話4》
縦が偶数(14以上)、横が12の長方形は、必ず、12個のトリオミノと、その他多数のテトロミノとで埋め尽くすことができます。
 
 
 
オマケの問い5
 
6×6より大の、縦横ともに偶数の長方形を埋め尽くす方法があることについて、《オマケな話1》から《オマケな話4》までを応用すればすぐにわかります。
トリオミノ使用個数をかなり節約できることでしょう。
 
2022×2022 の場合には a2wz0ahz さんによる No2 でのご解答がとても綺麗ですので、そちらをご覧ください。
 
※私が用意していたものよりもわかりやすいです。
 
■
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