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 吉備団子工場出荷係の苦悩
難易度：★★★
 千夜一夜
2022/01/10 23:22
「あまい吉備団子の重さは１０グラム、しょっぱい吉備団子の重さは１０.１グラムだ。その味と重量における高品質！我らが工場の、それが誇りだ。」 吉備団子製造工場の工場長ががなりたてた。 「しかるに！…しかるに！」 工場長は泣き崩れた。 「最近になって鬼退治訓練高等学校からクレームが頻繁にはいっている。学校からは、あまい吉備団子と、しょっぱい吉備団子とが、混ざって納入されていると！！！……鬼のような怒気で叱られるのだ！！！！！……おーおーおー……（泣く）」 出荷係は冷や汗をかきっぱなしであった。なぜだかわからないが、 【あまい吉備団子１０個パック】と、【しょっぱい吉備団子１０個パック】とで、混在の事故がおこっているのだった。 製造ラインの鉄則がある。先代の社長の遺言では、【あまい吉備団子と、しょっぱい吉備団子とは必ずそれぞれ一個づつペアで生産するように】とあるのだった。 それゆえに、あまい吉備団子を１個つくるラインと、しょっぱい吉備団子を１個つくるラインとを並行させ、タイミングを同期させながら、両者を同時に１個づつペアにして作るのである。 同期しながら、あまい吉備団子を１０個つくるラインとしょっぱい吉備団子を１０個つくるラインとは、工場が誇る自慢の最新鋭の製造機械なのであった。 製造された１０個づつの団子は、それぞれ、【あまい吉備団子１０個パック】と、【しょっぱい吉備団子１０個パック】になる、その筈だったのである。 ところが、しばしば、あまい団子としょっぱい団子とが、同時に製造される二つのパックにおいて、数個…入れ違って出荷されてしまう事故が頻発するのである。つまり、あまい団子パックに数個しょっぱい団子が混ざってしまう事故と同時に、しょっぱい団子パックにあまい団子が、同数、混ざってしまうのである。あるいは平行して走るベルトコンベアのせいなのだろうか。 無論のこと出荷係の責任ではないのだが、工場長は出荷係に厳命した。 「２度と混在がないように。」と。 出荷係が音頭をとって業務改善チームが発足した。 あまい団子の製造ラインの最終尾に１０グラムの分銅を用意して天秤で団子１０個それぞれをいちいち分銅と比べる、しょっぱい団子の製造ラインの最終尾に１０.１グラムの分銅を用意して天秤で団子１０個それぞれをいちいち分銅と比べる、そのような検査を行うべきなのではないかと、業務改善チームが考えたのである。検査に合格できなければ出荷しないものにしたいと出荷係は訴えた。 業務改善チームからの提案を聞いて「天秤を使う回数が２０回！？」と工場長は激怒した。いわく。 「無駄な製造コストをかけるな！【あまい吉備団子１０個パック】と、【しょっぱい吉備団子１０個パック】のそれぞれを１パックづつ混在のないように製造するためには、天秤を使う回数は２０回ではなく３回ですむ筈では？ てか、そもそも分銅、いらなくね？」 出荷係は悩みこんでしまった。 【問題】いったいどういうことなのでしょうか。工場長の考えについて御説明いただきたいと思います。 ただし、さすがに【しょっぱい吉備団子１０個パック】の全てがあまい団子になっていることは絶対にないとお考えください。
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回答募集は終了しました。
出荷係は検査済みの正規品、【あまい吉備団子１０個パック】をひとつと、【しょっぱい吉備団子１０個パック】をひとつ、そして精密天秤とを自宅に持ち帰りました。 パートナーが気配を察して声をかけました。 「どうしたの？悩みでもあるの？」 出荷係は説明をはじめた。 出荷係「こちらにあるのがしょっぱい団子が１０個、で、こちらにあるのがあまい団子１０個なんだ。あまい団子の重さは１０グラム、しょっぱい団子の重さは１０.１グラム。」 パトナ「ふむふむ」 出荷係「甘いほうから何個か取り出してしょっぱいほうに移す、そしてよくまぜる、まざったらさっきと同じ個数だけ、しょっぱいほうからあまいほうに移す。移す個数は１０個よりも小さいんだ。」 パトナ「両方ともに１０個になるね。でも味がまざっちゃう。」 出荷係「こうした事故が希におきているらしいんだ。だから、梱包前に天秤で検査することになったんだが…３回でできるはずだと工場長が言い張るんだよ。」 パトナ「８個どうしならできるよね？」 出荷係「そうとも。」 ―― しょっぱいのが混ざってしまっているかもしれない「全部あまい？」団子８個に名前をつけます。 a1、b2、c3、c4、d5、d6、d7、d8、 としましょう。 A1=a1、B1=b2、C2=c3+c4、D4=d5+d6+d7+d8 としておいて、天秤を３回使って A1=B1 A1+B1=C2 A1+B1+C2=D4 が確認できたときに限り、8個全てが同じ重さであるとわかります。 しょっぱいのが混ざってしまっているかもしれない「全部あまい？」団子８個がすべて甘いことがわかれば、あまいのが混ざってしまっているかもしれない「全部しょっぱい？」団子８個がすべてしょっぱいことがわかります。 ―― パトナ「こどものころ、９個どうしで天秤３回、遊んだことがあるよ？」 出荷係「えー！？」 ―― パートナーが思い出した方法が以下でした。 A1=a1 B1=b2 C1=c3 D3=d4+d5+d6 E3=e7+e8+e9 として、 A1+E3 = C1+D3 ...① A1+D3 = B1+E3 ...② A1+B1+C1 = D3 ...③ を天秤で確かめられれば９個が全て同じというわけです。 ①と②とから、 A1+A1 = B1+C1 がわかります。このことからただちに、 A1 = B1 = C1 = a1 がわかります。 これを踏まえて③をみれば A1+A1+A1 = D3 となりますから、D3に含まれる団子、d4、d5、d6は全て、a1と同じ重さだとわかります。 ここまでを踏まえて①をみれば、 E3 = D3 とわかりますので、 E3に含まれるe7、e8、e9もまた、a1と同じ重さであると判明します。 ―― 出荷係「ありがとうっ！！ でも１０個どうしだとどうなるんだろう？」 パトナ「んー、わかんないなあ。でも、この遊びを教えてくれたの、工場長だよ？若き日の。」 出荷係「へえー！！！ そっかー。じゃあ１０個どうしで出来るというのも、あながちデマカセとは限らないんだろうなあ……」 ２人は悪戦苦闘しましたが、やがて１０個どうしでのやり方もわかりました。 夜も更け、２人は吉備団子を全部たいらげました。
９個づつの場合の別解をお示ししておきます。 しょっぱいパックの 9 個に ABCDEFGHI という名をつけ（その名で重さをあらわします） あまいパックの 9 個に abcdefghi という名をつけます。（その名で重さをあらわします） 大文字のほうが全て重いこと（１０.１グラム） 小文字のほうが全て軽いこと（１０グラム） …を示すために、天秤を３回使う方法を考えます。 A+B+c+d+e ＜ a+b+C+D+E ...① C+D+E+f+g+h+i ＜ c+d+e+F+G+H+I ...② A+B+C+D+E+f+g+h+i ＞ a+b+c+d+e+F+G+H+I ...③ 上であることを天秤で明らかにすればよいことになります。 なぜならば ②と③とを比べることで、 a ＜ A b ＜ B がわかります。 この結果を用いて①をみると c ＜ C d ＜ D e ＜ E がわかります。 ここまでの結果を用いて②をみると f ＜ F g ＜ G h ＜ H i ＜ I がわかります。 ―― 天秤が３回傾くことで、９個づつのケースで検品ができることが上で明らかになりました。 この天秤傾き方法で 3回10個づつを検品する方法は、*おそらくは* 存在しないです。
細かいことを言えば、「吉備団子」は○○堂の登録商標。
普通名では「きびだんご」 （北海道やら四国の「きびだんご」が出回るのは止められん。  ）
千夜一夜
迷っていたのですけれども、黍団子にしておけばよかったです。 御教示をありがとうございました。 10=1+2+3+4なので、10個を、
1個からなるグループ1、 2個からなるグループ2、 3個からなるグループ3、 4個からなるグループ4 の4グループに分ける。 グループ1+グループ2とグループ3を比べる。 グループ1+グループ3とグループ4を比べる。 グループ1+グループ4とグループ2+グループ3を比べる。
おそらくこれが想定解かな？
千夜一夜
(>_<) 想定解を見抜かれてしまいました。 どこから攻めたらよいのかについて意外と難解なのではないかと恐れておりましたけれども。
実を申しますと、この「吉備団子工場出荷係の苦悩」の問題は、別の問題、解答公開中の「拾伍乃吉備団子」のスレッドにおきまして、WA_TLE さんとのやりとりをしたなかの話題と深い関わりがあります。
囁きを全公開モードにいたしました。 もしも別解がございましたならば、、あるいは、11個や12個でも天秤３回ですむよという解などありましたら、是非、お教えくださいますよう、お願い申し上げます。もの凄く知りたいのです。 |
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