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換気とソーシャルディスタンスとマスク1〜正方形部屋〜
難易度：★★★ 　
?a2wz0ahz 2021/10/27 18:38
新型コロナも少し落ち着いています．
このまま事態が収束してくれればいいのですが……

まだまだ拡散防止のための対策は必要なようです (-へ-;)

問題1
一辺が4 mの正方形の部屋に人が集まります．

・部屋のふすまが換気のために取っ払われており，人は部屋の境界線上にいることができます．
・ソーシャルディスタンスを考慮して，人と人との間の距離は2 mよりも大きくなければなりません．
・食事の時以外はマスクを着用しなければなりません．

(1) この部屋には最大で何人の人が集まれるでしょうか？
また，どのように配置すればよいでしょうか？
人の大きさは考えずに，平面上の点として考えてくださいね．

(2) 部屋の一辺が4 mでなくても，何mより広ければ，(1)の答えの人数が集まれるでしょうか？
その人数が集まれる正方形の部屋の一辺の下限を求めてください．
（答えは小数でも分数でも根号でも，満たす方程式でもいいです）

問題2
一辺が5 mの正方形の部屋ではいかがでしょうか（(1)，(2)）．
Answer【問題1
(1)
8人
例：
(-2, -2), (-2, 2), (2, -2), (2, 2)を頂点とする正方形の部屋とすると，
(-2, -2), (-2, 2), (-1.5, 0), (0, -1.5), (0, 1.5), (1.5, 0), (2, -2), (2, 2)
の8点に配置する．

(2)
一辺(√2 + √6) mより広ければよい

一辺(√2 + √6) mの正方形の部屋で，
(-(1 + √3)/√2, -(1 + √3)/√2),
(-(1 + √3)/√2, (1 + √3)/√2),
(-√2, 0),
(0, -√2),
(0, √2),
(√2, 0),
((1 + √3)/√2, -(1 + √3)/√2),
((1 + √3)/√2, (1 + √3)/√2),
に配置すると人と人の距離は最低でも2になる．
一辺が(√2 + √6) mよりも大きいときは，これを拡大すれば距離が2 mより大きくなる．

問題2
(1)
10人
例：
(-2.5, -2.5), (-2.5, 2.5), (2.5, -2.5), (2.5, 2.5)を頂点とする正方形の部屋とすると，
(-2.5, -2.5), (-2.5, 0.3), (-2.5, 2.4), (-0.9, -1), (-0.4, 2.5), (0.4, 0.6), (0.6, -2.5), (1.7, 2.5), (2.5, -1.6), (2.5, 0.5)
の10点に配置する．

(2)
一辺a ≒ 4.74744 mより広ければよい．
（aは
　200 a^18 - 6920 a^17 + 111366 a^16 - 1100878 a^15 + 7418483 a^14 - 35656846 a^13 + 123725961 a^12 - 303814484 a^11 + 487694340 a^10 - 370040224 a^9 - 259565452 a^8 + 763454784 a^7 + 227573920 a^6 - 2797932960 a^5 + 4583246112 a^4 - 3696828672 a^3 + 1568253504 a^2 - 365965696 a + 75528256 = 0
の解）

一辺aの正方形の部屋で
(-2.37372, -2.37372),
(-2.37372, 0.31923),
(-2.37372, 2.31923),
(-0.89487, -1.02724),
(-0.37446, 2.37372),
(0.37372, 0.51894),
(0.58398, -2.37372),
(1.62554, 2.37372),
(2.37372, -1.48106),
(2.37372, 0.51894)
に配置すると人と人の距離は最低でも2になる．
一辺がaよりも大きいときは，これを拡大すれば距離が2 mより大きくなる．
】
■
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