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このクイズの参加者（2人）
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虫食い・覆面算
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 重なる虫食い算
難易度：★★★
 ほにょこ
2021/01/19 12:50
□□
× ■■□ □□）□■■□ □■□ □■□ □■■□ □ 割り算と掛け算を重ねた虫食い算を作ってみました。 黒マスは割り算と掛け算両方で使用しますが、 白マスは割り算か掛け算どちらか片方だけで使います。 割り算と掛け算の両方が成立するように各マスに数字を入れてください。 123*456,789/123のように割り算または掛け算を半角で囁くと、 かってに君が判定してくれます。
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回答募集は終了しました。
ほにょこ
その通りです。
掛け算正解です！
掛け算正解です！
割り算正解です！
ヒントです。
次のように各マスをアルファベットで置き換えてみます。 白マスは小文字、黒マスは大文字にしました。 大文字は割り算、掛け算の両方で使われますが、 小文字はどちらか片方だけでしか使われません。 各小文字が割り算なのか掛け算なのかを考えてみましょう。 ａｂ × ＣＤｅ ｆｇ）ｈＩＪｋ ｌＭｎ ｏＰｑ ｒＳＴｕ ｖ fgが割り算の除数になることは明らかですね。 被除数はhIJkに含まれ、商はCDeに含まれます。 abは割り算の一部ではないので掛け算です。 するとeも掛け算であり、rSTuが掛け算の答えだと分かります。 vは割り算の余り。 vより右側には割り算はありませんので、k,uは掛け算です。 fg×Cが一桁になることはありませんので、lM=fg×Cであり、lは割り算。 hも割り算だと分かります。 nは割り算ではないので掛け算です。 ab×Cが一桁になることはありませんので、ab×C=oPであり、oは掛け算。 rも掛け算だと分かります。 qは掛け算ではないので割り算です。 以上で、各小文字は掛け算なのか割り算なのか確定しました。 次のように掛け算、割り算に別れます。 ａｂ × ＣＤｅ ＩＪｋ Ｍｎ ｏＰ＿＿ ｒＳＴｕ ＣＤ ｆｇ）ｈＩＪ ｌＭ＿ Ｐｑ ＳＴ ｖ 同じアルファベット(大文字)には同じ数字が入るようにして この連立虫食い算を解けばよいわけです。
更にヒントです。
〜=〜 (mod 10) は10で割ったときの余りが同じという意味で書いています。 q=J,u=kは明らか。 ab*e=IJkなので、IJk=ab*e＜ab*10=ab0,I≦a ab*D=Mnなので、ab≦Mn,a≦M よって、I≦a≦M hI-lM=P＞0なので、I＜Mでありh=l+1 hI-lM=10+I-M=P,P+M=I+10 PJ-ST=vに注目すると、 差が一桁なのでP=SまたはP=S+1 J＜Tの場合はP=S+1 J≧Tの場合はP=S 掛け算の10の位に注目すると、 J+n=TまたはJ+n=T+10 J≦Tの場合はJ+n=T J＞Tの場合はJ+n=T+10 繰り上がりの数をxとすると、J+n=T+10*xと書ける。 掛け算の100の位に注目すると、x+I+M+P=S (mod 10) M+P=I+10なので、x+2*I=S (mod 10) J=Tの場合は、x=0,P=Sなので、P=2*I (mod 10) J＜Tの場合は、x=0,P=S+1なので、P=2*I+1 (mod 10) J＞Tの場合は、x=1,P=Sなので、P=2*I+1 (mod 10) まず、J=Tの場合を調べてみましょう。 n=0です。 P=S=2*I (mod 10)なので、P,Sは偶数。 Pは0ではないので、bも0ではない。 ab*D=M0なので、b,Dのどちらかは5。 b=5の場合、 ab*C=oPなのでP=5となり、Pが偶数にならないので不適。 D=5の場合、 ab*Dは2桁なのでa=1 IJk=ab*e=1b*e≦19*9=171なのでI=1 P=S=2*I=2 fg*5=2Tであるが、fg*5≧50なので不適。 J=Tではないことが分かりました。 よって、P=2*I+1 (mod 10) Pは奇数であり、b,Cも奇数です。
ラストヒントです。
C≧5と仮定すると、 f=a=1であり、I=1でありることも分かる。 P=2*I+1=3 M=11-3=8 1g*D=ST≦Pq≦39なので、S≦3でありD≦3 Mn=1b*D≦19*3=57なのでM=8になることはない。 よってC＜5 Cは奇数なので1または3。 P+M=I+10,P=2*I+1 (mod 10) より I+M=9 (mod 10) I+M≧19となることはないのでI+M=9 M≧IなのでM≧5,I＜5 (I,M,P)=(1,8,3),(2,7,5),(3,6,7),(4,5,9)のいずれか。 (I,M,P)=(3,6,7)の場合 ab*e=3Jk≧300＞33*9なのでab≧34 よってC,Dは2以下で、C=1,b=7 D=2だとab*D≧37*2=74＞6nなので、D=1 ab=67と確定する。 fg*C=l6よりg=6,T=6 J+7=T (mod 10) なので、J=9 ab*e=3Jk=39kであるが、 67*5=335,67*6=402なので成立することはない。 こんな感じで他の場合も調べていけば答えにたどりつけるでしょう。 来週中くらいに答えを発表する予定です。 |
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