ちひろです。

得な選択はしたいですし、損な選択はしたくないものです。
そこで、こんなゲームを作ってみました。

《問題》
次のようなゲームを考えます。

《ルール》
裏が出るまでコインが投げ続けられて、それまでに表が出た回数をnとする。
もう1度コインが投げられて、表が出たら右の箱に4ⁿ円，左の箱に4ⁿ⁺¹円入れられ、裏が出たら右の箱に4ⁿ⁺¹円，左の箱に4ⁿ円入れられる。
ここまでの準備の様子を見ることはできないが、箱を1つ選んで中身を見てよい。
見た箱の中身を受け取るか，1円払って別の箱の中身を受け取る。

n回表が出た後に裏が出て、最後に表が出る場合をF_n，最後に裏が出る場合をB_nとします。
このゲームでF_n，B_nが起きる確率はどちらも(1/2)ⁿ⁺²です。

Aさんは次のように考えました。

このゲームは右と左について対称なので、1円払う分、箱を変える選択は損である。

Bさんは次のように考えました。

例えば、左の箱の中身を見たとする。
左が1円のときはB₀が起きていて、1円払ってでも4円である右に変えた方がいい。
1以上のすべてのnについて、次がいえる。
左が4ⁿ円のときはF_n-1かB_nが起きていて、それぞれ右は4^n-1円，4ⁿ⁺¹円である。
左が4ⁿ円という条件のもと、F_n-1，B_nが起きる条件付き確率はそれぞれ2/3，1/3である。
左が4ⁿ円のとき、1円払ってでも期待値が(2/3)×4^n-1+(1/3)×4ⁿ⁺¹=(3/2)×4ⁿ円である右に変えた方がいい。
左が何円でも1円払って右に変えた方がいいので、箱を変える選択は得である。

このゲームで箱を変えるのは得かつ損な選択なのでしょうか？
そうでないなら、どこが正しくないのでしょうか？

元ネタは「2つの封筒」というパラドックスなのですが、ゲームを設定する時点で微妙な部分があり、そこを指摘して解決する文献がほとんどなので、この問題を作りました。